Question

20．2013年，首都北京經(jīng)歷了59年來霧霾天氣最多的一個月．經(jīng)氣象局統(tǒng)計，北京市從1月1日至1月30日這30天里有26天出現(xiàn)霧霾天氣．《環(huán)境空氣質量指數(shù)（AQI）技術規(guī)定（試行）》依據(jù)AQI指數(shù)高低將空氣污染級別分為：優(yōu)，指數(shù)為0-50；良，指數(shù)為51-100；輕微污染，指數(shù)為101-150；輕度污染，指數(shù)為151-200；中度污染，指數(shù)為201-250；中度重污染，指數(shù)為251-300；重度污染，指數(shù)大于300．下面表1是某氣象觀測點記錄的北京1月1日到1月30日AQI指數(shù)頻數(shù)統(tǒng)計結果，表2是該觀測點記錄的4天里，AQI指數(shù)M與當天的空氣水平可見度y（千米）的情況，
表1：北京1月1日到1月30日AQI指數(shù)頻數(shù)統(tǒng)計

AQI指數(shù)	[0，200]	（200，400]	（400，600]	（600，800]	（800，1000]
頻數(shù)	3	6	12	6	3

表2：AQI指數(shù)M與當天的空氣水平可見度y（千米）情況

AQI指數(shù)M	900	700	300	100
空氣可見度y（千米）	0.5	3.5	6.5	9.5

（1）小王在記錄表1數(shù)據(jù)的觀測點附近開了一家小飯館，飯館生意的好壞受空氣質量影響很大．假設每天空氣質量的情況不受前一天影響．經(jīng)小王統(tǒng)計：AQI指數(shù)不高于200時，飯館平均每天凈利潤約700元，AQI指數(shù)在200至400時，飯館平均每天凈利潤約400元，AQI指數(shù)大于400時，飯館每天要凈虧損200元，求小王某一天能夠獲利的概率；
（2）設變量x=$\frac{M}{100}$，根據(jù)表2的數(shù)據(jù)，求出y關于x的線性回歸方程；
（用最小二乘法求線性回歸方程系數(shù)公式b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)古典概型的概率計算公式，用污染指數(shù)不高于400的天數(shù)除以總天數(shù)即可；
（2）根據(jù)回歸系數(shù)公式計算回歸系數(shù)，得出回歸方程．

解答 解：（1）由表1可知空氣污染指數(shù)不高于200的天數(shù)有3天，指數(shù)在200到400時的天數(shù)有6天，指數(shù)大于400的有21天．
∴小王某一天能夠獲利的概率P=$\frac{3+6}{30}$=0.3．
（2）∵$\overline{x}=\frac{9+7+3+1}{4}=5$，
$\overline{y}=\frac{0.5+3.5+6.5+9.5}{4}$=5．
$\sum_{i=1}^{4}{x}_{i}{y}_{i}$=4.5+24.5+19.5+9.5=58，
$\sum_{i=1}^{4}{{x}_{i}}^{2}$=81+49+9+1=140．
∴$\stackrel{∧}$=$\frac{58-4×5×5}{140-4×{5}^{2}}$=-1.05，$\stackrel{∧}{a}$=5-（-1.05）×5=10.25．
∴y關于x的回歸方程為：$\stackrel{∧}{y}$=-1.05x+10.25．

點評 本題考查了古典概型的概率計算，線性回歸方程的求解，屬于基礎題．