Question

5．定義在R上的函數(shù)f（x）是最小正周期為2π的偶函數(shù)，f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，0＜f（x）＜1，當(dāng)x∈（0，π）且x≠$\frac{π}{2}$時(shí)，（x-$\frac{π}{2}$）f′（x）＞0，則函數(shù)y=f（x）-sinx在[-3π，π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． 6
• D． 8

Answer 1

分析 由題意x∈（0，π） 當(dāng)x∈（0，π） 且x≠$\frac{π}{2}$時(shí)，（x-$\frac{π}{2}$）f′（x）＞0，以$\frac{π}{2}$為分界點(diǎn)進(jìn)行討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的圖形，畫出草圖進(jìn)行求解，即可得到結(jié)論

解答 解：∵當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，0＜f（x）＜1，f（x）為偶函數(shù)，
∴當(dāng)x∈[-π，2π]時(shí)，0＜f（x）＜1；
當(dāng)x∈（0，π） 且x≠$\frac{π}{2}$時(shí)，（x-$\frac{π}{2}$）f′（x）＞0，
∴x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，f（x）為單調(diào)減函數(shù)；x∈[$\frac{π}{2}$，π]時(shí)，f（x）為單調(diào)增函數(shù)，
∵x∈[0，π]時(shí)，0＜f（x）＜1，
在R上的函數(shù)f（x）是最小正周期為2π的偶函數(shù)，在同一坐標(biāo)系中作出y=sinx和y=f（x）草圖象如下，

由圖知y=f（x）-sinx在[-3π，π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4個(gè)．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查函數(shù)的周期性與奇偶性，利用數(shù)形結(jié)合的思想來求解，會化難為易．