Question

6．如圖所示幾何體ABC-A₁B₁C₁中，A₁、B₁、C₁在面ABC上的射影分別是線段AB、BC、AC的中點，面A₁B₁C₁∥面ABC，△ABC是邊長為2的等邊三角形．
（1）求證：△A₁B₁C₁是等邊三角形；
（2）若面ACB₁A₁⊥面BA₁B₁，求該幾何體ABC-A₁B₁C₁的體積；
（3）在（2）的條件下，求面ABC與面A₁B₁B所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A₁，B₁，C₁在底面ABC上的射影分別為E，F(xiàn)，G，則A₁E∥BF，推導出A₁B₁=$\frac{1}{2}$AC，A₁C₁=$\frac{1}{2}BC$，B₁C₁=$\frac{1}{2}AB$，由此能證明△A₁B₁C₁是等邊三角形．
（2）設(shè)A₁E=h，取A₁B₁的中點K，由${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=${V}_{EFG-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$+3${V}_{A-EG{C}_{1}{A}_{1}}$，能求出該幾何體ABC-A₁B₁C₁的體積．
（3）過B作AC的平行線l，則l為面ABC與面A₁B₁B的交線，分別取A₁B，AC的中點K，G，則∠KBG是面ABC與面A₁B₁B所成的銳二面角的平面角，由此能求出面ABC與面A₁B₁B所成的銳二面角的余弦值．

解答 證明：（1）如圖，設(shè)A₁，B₁，C₁在底面ABC上的射影分別為E，F(xiàn)，G，則A₁E∥BF
∵面A₁B₁C₁∥面ABC，面面A₁B₁EF∩面ABC=EF，∴A₁B₁∥EF，
又E、F分別是線段AB、BC的中點，即AC∥EF，∴A₁B₁∥AC，且A₁B₁=$\frac{1}{2}$AC，
同理，A₁C₁=$\frac{1}{2}BC$，B₁C₁=$\frac{1}{2}AB$，
∵△ABC是等邊三角形，∴△A₁B₁C₁是等邊三角形．
解：（2）設(shè)A₁E=h，取A₁B₁的中點K，∵A₁B=$\sqrt{1+{h}^{2}}$=BB₁，∴BK⊥A₁B₁，
又面ACB₁A₁⊥面BA₁B₁，∴BK⊥面ACB₁A₁，即BK⊥GK，
由題意得${A}_{1}B=B{B}_{1}=A{A}_{1}={B}_{1}C=\sqrt{{h}^{2}+1}$，BK=GK=$\sqrt{{h}^{2}+\frac{3}{4}}$，
∵BG=$\sqrt{3}$，∴h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴該幾何體ABC-A₁B₁C₁的體積：
${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=${V}_{EFG-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$+3${V}_{A-EG{C}_{1}{A}_{1}}$
=$\frac{\sqrt{3}}{4}×\frac{\sqrt{3}}{2}+3×\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{9}{8}$．
（3）過B作AC的平行線l，則l為面ABC與面A₁B₁B的交線，
分別取A₁B，AC的中點K，G，
則BK⊥A₁B₁，BG⊥AC，
∵A₁B₁∥AC∥l，∴∠KBG是面ABC與面A₁B₁B所成的銳二面角的平面角，
∵BK⊥KG，∴cos∠KBG=$\frac{KB}{BG}$=$\frac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴面ABC與面A₁B₁B所成的銳二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查等邊三角形的證明，考查幾何體的體積的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．