分析 (1)設A1,B1,C1在底面ABC上的射影分別為E,F(xiàn),G,則A1E∥BF,推導出A1B1=$\frac{1}{2}$AC,A1C1=$\frac{1}{2}BC$,B1C1=$\frac{1}{2}AB$,由此能證明△A1B1C1是等邊三角形.
(2)設A1E=h,取A1B1的中點K,由${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=${V}_{EFG-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$+3${V}_{A-EG{C}_{1}{A}_{1}}$,能求出該幾何體ABC-A1B1C1的體積.
(3)過B作AC的平行線l,則l為面ABC與面A1B1B的交線,分別取A1B,AC的中點K,G,則∠KBG是面ABC與面A1B1B所成的銳二面角的平面角,由此能求出面ABC與面A1B1B所成的銳二面角的余弦值.
解答 證明:(1)如圖,設A1,B1,C1在底面ABC上的射影分別為E,F(xiàn),G,則A1E∥BF
∵面A1B1C1∥面ABC,面面A1B1EF∩面ABC=EF,∴A1B1∥EF,
又E、F分別是線段AB、BC的中點,即AC∥EF,∴A1B1∥AC,且A1B1=$\frac{1}{2}$AC,
同理,A1C1=$\frac{1}{2}BC$,B1C1=$\frac{1}{2}AB$,
∵△ABC是等邊三角形,∴△A1B1C1是等邊三角形.
解:(2)設A1E=h,取A1B1的中點K,∵A1B=$\sqrt{1+{h}^{2}}$=BB1,∴BK⊥A1B1,
又面ACB1A1⊥面BA1B1,∴BK⊥面ACB1A1,即BK⊥GK,
由題意得${A}_{1}B=B{B}_{1}=A{A}_{1}={B}_{1}C=\sqrt{{h}^{2}+1}$,BK=GK=$\sqrt{{h}^{2}+\frac{3}{4}}$,
∵BG=$\sqrt{3}$,∴h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴該幾何體ABC-A1B1C1的體積:
${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=${V}_{EFG-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$+3${V}_{A-EG{C}_{1}{A}_{1}}$
=$\frac{\sqrt{3}}{4}×\frac{\sqrt{3}}{2}+3×\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{9}{8}$.
(3)過B作AC的平行線l,則l為面ABC與面A1B1B的交線,
分別取A1B,AC的中點K,G,
則BK⊥A1B1,BG⊥AC,
∵A1B1∥AC∥l,∴∠KBG是面ABC與面A1B1B所成的銳二面角的平面角,
∵BK⊥KG,∴cos∠KBG=$\frac{KB}{BG}$=$\frac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴面ABC與面A1B1B所成的銳二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
點評 本題考查等邊三角形的證明,考查幾何體的體積的求法,考查二面角的余弦值的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).
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