Question

1．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=1，BC=2，∠CBA=$\frac{π}{3}$，ABEF為直角梯形，BE∥AF，∠BAF=$\frac{π}{2}$，BE=2，AF=3，平面ABCD⊥平面ABEF．
（1）求證：AC⊥平面ABEF；
（2）求平面ABCD與平面DEF所成二面角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）在△ABC中使用余弦定理解出AC，利用勾股定理的逆定理得出AC⊥AB，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得出AC⊥平面ABEF．
（2）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AF為y軸，AC為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面ABCD與平面DEF所成二面角的正弦值．

解答 證明：（1）在△ABC中，AB=1，BC=2，∠CBA=$\frac{π}{3}$，
由余弦定理得AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}-2AB•BCcos∠CBA}$=$\sqrt{1+4-2×1×2×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{3}$．
∴AB²+AC²=BC²，∴AC⊥AB．
∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，AC?平面ABCD，
∴AC⊥平面ABEF．
解：（2）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AF為y軸，AC為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
D（-1，0，$\sqrt{3}$），E（1，2，0），F(xiàn)（0，3，0），
$\overrightarrow{DE}$=（2，2，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{DF}$=（1，3，-$\sqrt{3}$），
設(shè)平面DEF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=2x+2y-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=x+3y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，\sqrt{3}$，4），
平面ABCD的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
設(shè)平面ABCD與平面DEF所成二面角的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{22}}$，
∴sinθ=$\sqrt{1-\frac{3}{22}}$=$\frac{\sqrt{418}}{22}$．
∴平面ABCD與平面DEF所成二面角的正弦值為$\frac{\sqrt{418}}{22}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．