Question

16．已知點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂為橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的兩焦點(diǎn)，P為該橢圓C上的任意一點(diǎn)，△PF₁F₂的面積的最大值為$\sqrt{3}$，
且橢圓C過(guò)點(diǎn)（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
（I）求橢圓C的方程；
（II）點(diǎn)A為橢圓C的右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B（1，0）作直線l與橢圓C相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，直線AE，AF與直線x=3分別交于不同的兩點(diǎn)M，N，求$\overrightarrow{EM}$•$\overrightarrow{FN}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）由題意可得：$\frac{1}{2}×2c•b$=$\sqrt{3}$，$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{3}{4^{2}}$=1，又a²=b²+c²，聯(lián)立解得a，b，即可得出橢圓C的方程．
（II）設(shè)EF的方程為：my=x-1，E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂）．直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為：（m²+4）y²+2my-3=0．直線AE的方程為：y-0=$\frac{{y}_{1}-0}{{x}_{1}-2}$（x-2），可得M$（3，\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}）$．直線AF的方程為：y-0=$\frac{{y}_{2}-0}{{x}_{2}-2}$（x-2），可得N$（3，\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}）$．$\overrightarrow{EM}$•$\overrightarrow{FN}$=（3-x₁）（3-x₂）+$（\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}-{y}_{1}）（\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}-{y}_{2}）$=$\frac{[4-2m（{y}_{1}+{y}_{2}）+{m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}][（{m}^{2}+1）{y}_{1}{y}_{2}-m（{y}_{1}+{y}_{2}）+1]}{{m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}-m（{y}_{1}+{y}_{2}）+1}$，把根與系數(shù)的關(guān)系代入化簡(jiǎn)即可得出．

解答 解：（I）由題意可得：$\frac{1}{2}×2c•b$=$\sqrt{3}$，$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{3}{4^{2}}$=1，
又a²=b²+c²，聯(lián)立解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（II）設(shè)EF的方程為：my=x-1，E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{my=x-1}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化為：（m²+4）y²+2my-3=0，
∴y₁+y₂=-$\frac{2m}{{m}^{2}+4}$，y₁y₂=$\frac{-3}{{m}^{2}+4}$．
直線AE的方程為：y-0=$\frac{{y}_{1}-0}{{x}_{1}-2}$（x-2），令x=3，可得y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$，
可得M$（3，\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}）$．
直線AF的方程為：y-0=$\frac{{y}_{2}-0}{{x}_{2}-2}$（x-2），令x=3，可得y=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$，
可得N$（3，\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}）$．
∴$\overrightarrow{EM}$•$\overrightarrow{FN}$=（3-x₁）（3-x₂）+$（\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}-{y}_{1}）（\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}-{y}_{2}）$
=（2-my₁）（2-my₂）+$\frac{2{y}_{1}-m{y}_{1}^{2}}{m{y}_{1}-1}$•$\frac{2{y}_{2}-m{y}_{2}^{2}}{m{y}_{2}-1}$=$\frac{[4-2m（{y}_{1}+{y}_{2}）+{m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}][（{m}^{2}+1）{y}_{1}{y}_{2}-m（{y}_{1}+{y}_{2}）+1]}{{m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}-m（{y}_{1}+{y}_{2}）+1}$
=$\frac{[4+\frac{4{m}^{2}}{{m}^{2}+4}-\frac{3{m}^{2}}{{m}^{2}+4}][\frac{-3（{m}^{2}+1）}{{m}^{2}+4}+\frac{2{m}^{2}}{{m}^{2}+4}+1]}{\frac{-3{m}^{2}}{{m}^{2}+4}+\frac{2{m}^{2}}{{m}^{2}+4}+1}$
=$\frac{5{m}^{2}+16}{（1-{m}^{2}）（{m}^{2}+4）}$=$\frac{5{m}^{2}+16}{-{m}^{4}-3{m}^{2}+4}$=f（m）．
令m²+1=t≥1，t≠2，則f（m）=g（t）=$\frac{5t+11}{-{t}^{2}-t+6}$=$\frac{1}{-\frac{1}{5}（t-\frac{84}{25t+55}-\frac{6}{5}）}$，
分母$-\frac{1}{5}（t-\frac{84}{25t+55}-\frac{6}{5}）$在t≥1時(shí)單調(diào)遞減，∴分母≤$\frac{1}{4}$，且分母≠0．
∴g（t）≥4或g（t）＜0．
∴$\overrightarrow{EM}$•$\overrightarrow{FN}$的取值范圍是（-∞，0）∪[4，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、向量坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．