Question

已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，．

(1)若，求曲線在點處的切線方程；

(2)若，求的單調(diào)區(qū)間；

(3)若，函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像有3個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

（1）；（2）當時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，，單調(diào)遞增區(qū)間為；當時，的單調(diào)遞減區(qū)間為；當時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，，單調(diào)遞增區(qū)間為；（3）．

【解析】

試題分析：(1) 利用導數(shù)的幾何意義求切線的斜率，再求切點坐標，最后根據(jù)點斜式直線方程求切線方程；(2)利用導數(shù)的正負分析原函數(shù)的單調(diào)性，注意在解不等式時需要對參數(shù)的范圍進行討論；(3)根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的極值，根據(jù)其圖像交點的個數(shù)確定兩個函數(shù)極值的大小關系，然后解對應的不等式即可．

試題解析：（1）因為

所以

所以曲線在點處的切線斜率為

又因為

所以所求切線方程為，即 2分

（2）

①若，當或時，；當時，

所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，

單調(diào)遞增區(qū)間為 4分

②若，

所以的單調(diào)遞減區(qū)間為 5分

③若，當或時，；當時，

所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，

單調(diào)遞增區(qū)間為 7分

（3）由（2）知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

所以在處取得極小值，在處取得極大值 8分

由，得

當或時，；當時，

所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

故在處取得極大值，在處取得極小值 10分

因為函數(shù)與函數(shù)的圖象有3個不同的交點

所以，即，所以 12分．

考點：1．導數(shù)的幾何意義；2．函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)；3．分類討論的思想；4．函數(shù)的極值與導數(shù)；5．零點問題．