Question

8．已知$\overrightarrow a，\overrightarrow b$是單位向量，$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夾角為90°，若向量$\overrightarrow c滿足$|$\overrightarrow c-\overrightarrow a-\overrightarrow b|=2$，則$\overrightarrow{|c}$|的最大值為（　�。�

• A． $2-\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2
• D． $2+\sqrt{2}$

Answer 1

分析 設$\overrightarrow a，\overrightarrow b$分別是x軸與y軸正方向上的單位向量，則$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow$=（0，1），$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=（1，1），再設$\overrightarrow{c}$=（x，y），可求得$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$=（x-1，y-1），利用|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\sqrt{{（x-1）}^{2}{+（y-1）}^{2}}$=2，可得點C的軌跡是以（1，1）為圓心，2為半徑的圓，求得圓心M（1，1）到原點的距離為|OM|=$\sqrt{{1}^{2}{+1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，從而可得答案．

解答 解：依題意，設$\overrightarrow a，\overrightarrow b$分別是x軸與y軸正方向上的單位向量，
則$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow$=（0，1），$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=（1，1），
設$\overrightarrow{c}$=（x，y），
則$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$=（x-1，y-1），
因為|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\sqrt{{（x-1）}^{2}{+（y-1）}^{2}}$=2，
所以（x-1）²+（y-1）²=4，
故$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{OC}$中，點C的軌跡是以（1，1）為圓心，2為半徑的圓，
圓心M（1，1）到原點的距離為|OM|=$\sqrt{{1}^{2}{+1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
$\overrightarrow{|c}$|_max=$\sqrt{2}$+2．
故選：D．

點評 本題考查平面向量數(shù)量積的坐標運算，求得點C的軌跡是以（1，1）為圓心，2為半徑的圓是關鍵，考查向量加法及運算求解能力，屬于中檔題．