Question

16．設(shè)M（p，0）是一定點(diǎn)，0＜p＜1，點(diǎn)A（a，b）是橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1距離M最近的點(diǎn)，則a=f（p）=$\frac{4p}{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)A（2cosα，sinα）0＜α＜π，根據(jù)題意AM²=（2cosα-p）²+sin²α，換元，利用配方法，即可得出結(jié)論．

解答 解：橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，那么a=2，b=1
設(shè)A（2cosα，sinα）0＜α＜π，根據(jù)題意AM²=（2cosα-p）²+sin²α．
令y=（2cosα-p）²+sin²α=4cos²α-4pcosα+p²+sin²α=3cos²α-4pcosα+p²+1
令t=cosα，-1≤t≤1，y=3t²-4pt+p²+1=3（t-$\frac{2p}{3}$）²+1-$\frac{{p}^{2}}{3}$
∵0＜p＜1，0＜$\frac{2p}{3}$＜$\frac{2}{3}$，
當(dāng)t=$\frac{2p}{3}$時(shí)，y有最小值1-$\frac{{p}^{2}}{3}$
此時(shí)cosα=$\frac{2p}{3}$，∴a=2cosα=$\frac{4p}{3}$．
故答案為：$\frac{4p}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的參數(shù)方程，考查距離公式，考查配方法的運(yùn)用，屬于中檔題．