Question

已知各項均不為零的數(shù)列{a_n}，定義向量

cn

=(an，an+1)，

bn

=（n，n+1），n∈N^*．下列命題中真命題是（　　）

• A、若?n∈N^*總有

  cn

  ∥

  bn

  成立，則數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列
• B、若?n∈N^*總有

  cn

  ∥

  bn

  成立，則數(shù)列

  e

  是等比數(shù)列
• C、若

  e

  ⊥(

  a

  -

  e

  )總有

  cn

  ⊥

  bn

  成立，則數(shù)列

  e

  是等差數(shù)列
• D、若?n∈N^*總有

  cn

  ⊥

  bn

  成立，則數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,平面向量及應(yīng)用

分析：根據(jù)題意，分析平面向量平行、垂直的坐標(biāo)表示，判斷數(shù)列{a_n}是否為等差或等比數(shù)列．

解答： 解：∵向量

cn

=(an，an+1)，

bn

=（n，n+1），n∈N^*；
∴當(dāng)

cn

∥

bn

，（n+1）a_n-na_n+1=0，
即

an+1

an

=

n+1

n

；
∴a_n=

an

an-1

•

an-1

an-2

•

an-2

an-3

•…•

a2

a1

•a₁
=

n

n-1

•

n-1

n-2

•…•

2

1

•a₁
=na₁，
∴數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，
∴A正確，B錯誤；
當(dāng)

cn

⊥

bn

時，na_n+（n+1）a_n+1=0，
即

an+1

an

=-

n

n+1

；
∴a_n=

an

an-1

•

an-1

an-2

•

an-2

an-3

•…•

a2

a1

•a₁
=-

n-1

n

•（-

n-2

n-1

）•（-

n-3

n-2

）…（-

1

2

）•a₁
=

(-1)n-1

n

•a₁；
∴數(shù)列{a_n}既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，
∴C、D錯誤；
故選：A．

點評：本題考查了平面向量平行的坐標(biāo)表示，也考查了等差與等比數(shù)列的應(yīng)用問題，中檔題目．