Question

11．S_n為{a_n}前n項和對n∈N^*都有S_n=1-a_n，若b_n=log₂a_n，$\frac{1}{{{b_1}{b_2}}}+\frac{1}{{{b_2}{b_3}}}+…+\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}＜m$恒成立，則m的最小值為1．

Answer 1

分析 先根據(jù)數(shù)列的遞推公式求出a_n的通項公式，再求出b_n的通項公式，根據(jù)裂項求和和放縮法即可求出m的最小值．

解答 解：∵S_n=1-a_n，
∴S_n-1=1-a_n-1，
∴a_n=S_n-S_n-1=（1-a_n）-（1-a_n-1）=a_n-1-a_n，
∴2a_n=a_n-1，
∵S₁=1-a₁=a₁，
∴a₁=$\frac{1}{2}$
∴數(shù)列{a_n}是以$\frac{1}{2}$為首項，以$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴b_n=log₂a_n=-n，
∴$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴$\frac{1}{_{1}_{2}}$+$\frac{1}{_{2}_{3}}$+…+$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=1-$\frac{1}{n+1}$，
∴m＞1-$\frac{1}{n+1}$，
∴m的最小值為1，
故答案為：1

點評 本題考查了數(shù)列的通項公式的求法和裂項其和以及放縮法以及不等式恒成立的問題，屬于中檔題．