Question

2．在銳角△ABC中，已知BC=1，B=2A，則AC的取值范圍是（　�。�

• A． $（{0，\sqrt{2}}）$
• B． $（{0，\sqrt{3}}）$
• C． $（{\sqrt{2}，\sqrt{3}}）$
• D． $（{\sqrt{3}，2}）$

Answer 1

分析 根據(jù)正弦定理和B=2A及二倍角的正弦公式化簡得到AC=2cosA，要求AC的范圍，只需找出2cosA的范圍即可，根據(jù)銳角△ABC和B=2A求出A的范圍，然后根據(jù)余弦函數(shù)的增減性得到cosA的范圍即可．

解答 解：∵△ABC是銳角三角形，C為銳角，
∴A+B≥$\frac{π}{2}$，由B=2A得到A+2A＞$\frac{π}{2}$，且2A=B＜$\frac{π}{2}$，
解得：$\frac{π}{6}$＜A＜$\frac{π}{4}$，
∴$\sqrt{2}$＜2cosA＜$\sqrt{3}$，
根據(jù)正弦定理$\frac{AC}{sinB}=\frac{BC}{sinA}$，B=2A，
得到$\frac{AC}{2sinAcosA}=\frac{1}{sinA}$，即AC=2cosA，
則AC的取值范圍為（$\sqrt{2}$.$\sqrt{3}$）．
故選：C．

點評 此題考查了正弦定理，以及二倍角的正弦公式化簡求值，本題的突破點是根據(jù)三角形為銳角三角形、內(nèi)角和定理及B=2A變換角得到角的范圍，屬于中檔題．