Question

2．若△ABC的兩邊分別是方程x²-2$\sqrt{3}$x+2=0的兩根，且S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則△ABC第三邊長為$\sqrt{10}$或$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 由方程x²-2$\sqrt{3}$x+2=0的兩根，解得x=$\sqrt{3}$+1，$\sqrt{3}$-1．不妨設(shè)a=$\sqrt{3}$+1，b=$\sqrt{3}$-1．利用S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$absinC，C∈（0，π）．可得cosC=$±\sqrt{1-si{n}^{2}C}$．再利用余弦定理可得c．

解答 解：由方程x²-2$\sqrt{3}$x+2=0的兩根，解得x=$\sqrt{3}$+1，$\sqrt{3}$-1．
不妨設(shè)a=$\sqrt{3}$+1，b=$\sqrt{3}$-1．
∵S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}（\sqrt{3}+1）（\sqrt{3}-1）$sinC，
∴sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
C∈（0，π）．
∴cosC=$±\sqrt{1-si{n}^{2}C}$=$±\frac{1}{2}$．
c²=a²+b²-2abcosC，
可得c=$\sqrt{10}$或$\sqrt{6}$．
故答案為：$\sqrt{10}$或$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次方程的解法、三角形的面積計(jì)算公式、余弦定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．