Question

16．已知cosα=-$\frac{1}{3}$，且α是第三象限角，若sin（α+β）=1，求cos（2α+β）的值．

Answer 1

分析 由已知求得sinα的值，再由sin（α+β）=1得到cos（α+β）=0，把cos（2α+β）拆為cos[α+（α+β）]，然后展開兩角和的余弦求得cos（2α+β）的值．

解答 解：∵α為第三象限角，且cosα=-$\frac{1}{3}$，
∴sinα=-$\sqrt{1-si{n}^{2}α}=-\sqrt{1-（-\frac{1}{3}）^{2}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
又∵sin（α+β）=1，∴cos（α+β）=0，
則cos（2α+β）=cos[α+（α+β）]
=cosαcos（α+β）-sinαsin（α+β）
=$-\frac{1}{3}×0$$-（-\frac{2\sqrt{2}}{3}）×1$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題考查兩角和與差的余弦，考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用及象限符號，是基礎(chǔ)題．