Question

5．已知θ∈（0°，360°），sinθ，cosθ是方程x²-mx+m+1=0的兩個根，求角θ

Answer 1

分析 根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，利用正弦和余弦的平方和為1，代入求解，注意角的取值范圍，即可求出角的大小．

解答 解：θ∈（0°，360°），sinθ，cosθ是方程x²-mx+m+1=0的兩個根，
∴sinθ+cosθ=m，sinθ•cosθ=m+1，
且m²-4m-4≥0，
解得m≤2-2$\sqrt{2}$或m≥2+2$\sqrt{2}$，
代入（sinθ+cosθ）²=1+2sinθ•cosθ，
得m²=1+2（m+1），
解得m=3（不合題意，舍去），或m=-1；
∴$\left\{\begin{array}{l}{sinθ+cosθ=-1}\\{sinθ•cosθ=0}\end{array}\right.$，
又θ∈（0°360°），
∴sinθ=0且cosθ=-1，得出θ=180°；
或sinθ=-1，cosθ=0，得出θ=270°；
綜上，θ=180°或270°．

點評 本題考查了同角的三角函數(shù)的關(guān)系式與應(yīng)用問題，解題時應(yīng)根據(jù)正弦和余弦本身具有的關(guān)系和角的范圍求出結(jié)果，是綜合性題目．