Question

2．已知拋物線C：x²=2py（p＞0）上的一點(diǎn)M（m，1）到焦點(diǎn)F的距離為2．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）直線l過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且AA₁，BB₁都垂直于直線${l_1}：y=-\frac{p}{2}$，垂足為A₁，B₁，直線l₁與y軸的交點(diǎn)為Q，求證：$\frac{{S_{△QAB}^2}}{{{S_{△QA{A_1}}}•{S_{QBB{\;}_1}}}}$為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)拋物線的定義，可得1+$\frac{p}{2}$=2，求出p，即可即可求拋物線C的方程；
（Ⅱ）直線l：y=kx+1，代入拋物線方程，可得x²-4kx-4=0，利用韋達(dá)定理，分別求出面積，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）∵拋物線C：x²=2py（p＞0）上的一點(diǎn)M（m，1）到焦點(diǎn)F的距離為2，
∴1+$\frac{p}{2}$=2，
∴p=2，
∴拋物線C：x²=4y；
證明：（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l：y=kx+1，
代入拋物線方程，可得x²-4kx-4=0，
∴x₁+x₂=-4k，x₁x₂=-4，
∴y₁+y₂=4k²+2，y₁y₂=1，
∵Q（0，-1）到直線l的距離d=$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
∴S_△QAB=$\frac{1}{2}$|AB|d=$\frac{1}{2}\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|•$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=|x₁-x₂|．
∵|AA₁|=y₁+1，|BB₁|=y₂+1，
∴$\frac{{S_{△QAB}^2}}{{{S_{△QA{A_1}}}•{S_{QBB{\;}_1}}}}$=$\frac{|{x}_{1}-{x}_{2}{|}^{2}}{\frac{1}{2}（{y}_{1}+1）|{x}_{1}|•\frac{1}{2}（{y}_{2}+1）|{x}_{2}|}$=$\frac{4（16{k}^{2}+16）}{4（4{k}^{2}+4）}$=4，
∴$\frac{{S_{△QAB}^2}}{{{S_{△QA{A_1}}}•{S_{QBB{\;}_1}}}}$為定值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查三角形面積是計(jì)算，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力，屬于中檔題．