12．設(shè)a，b，c是正實(shí)數(shù)，且a2+b2+c2+abc=4，證明：a+b+c≤3．

分析 由a2+b2+c2+abc=4，則a，b，c不能都大于1，也不能都小于1；不妨設(shè)a≥1，b≥1，c≤1；運(yùn)用基本不等式和不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答 證明：由a2+b2+c2+abc=4，則a，b，c不能都大于1，也不能都小于1；
不妨設(shè)a≥1，b≥1，c≤1；則（a-1）（b-1）≥0，即ab≥a+b-1①
又4=a2+b2+c2+abc≥2ab+c2+abc，
則ab（2+c）≤4-c2，故ab≤2-c，②
由①，②知a+b-1≤ab≤2-c，
則a+b+c≤3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，注意運(yùn)用分析法和基本不等式，以及不等式的性質(zhì)，考查推理能力，屬于中檔題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

2．已知拋物線C：x2=2py（p＞0）上的一點(diǎn)M（m，1）到焦點(diǎn)F的距離為2．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）直線l過拋物線C的焦點(diǎn)F與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且AA1，BB1都垂直于直線${l_1}：y=-\frac{p}{2}$，垂足為A1，B1，直線l1與y軸的交點(diǎn)為Q，求證：$\frac{{S_{△QAB}^2}}{{{S_{△QA{A_1}}}•{S_{QBB{\;}_1}}}}$為定值．

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3．下列參數(shù)方程化成普通方程（其中t與φ是參數(shù)），并說明各表示什么曲線：
（1）$\left\{\begin{array}{l}{x=3-2t}\\{y=-1-4t}\end{array}\right.$ 
（2）$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosφ}\\{y=3sinφ}\end{array}\right.$
（3）$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{a}{2}（t+\frac{1}{t}）}\\{y=\frac{2}（t-\frac{1}{t}）}\end{array}\right.$
（4）$\left\{\begin{array}{l}{x=5cosφ+2}\\{y=2sinφ-3}\end{array}\right.$．

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20．已知a，b，c，d都是正數(shù)，求證：$\frac{a+b+c+d}{2}≥\sqrt{ab}+\sqrt{cd}$．

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7．給定橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），稱圓C1：x2+y2=a2+b2為橢圓C的“伴隨圓”． 已知點(diǎn)A（2，1）是橢圓G：x2+4y2=m上的點(diǎn)．
（1）若過點(diǎn)$P（0，\sqrt{10}）$的直線l與橢圓G有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求l被橢圓G的伴隨圓G1所截得的弦長；
（2）橢圓G上的B，C兩點(diǎn)滿足4k1•k2=-1（其中k1，k2是直線AB，AC的斜率），求證：B，C，O三點(diǎn)共線．

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17．設(shè)點(diǎn)P是圓x2+y2=4上的任一點(diǎn)，定點(diǎn)D的坐標(biāo)為（8，0），若點(diǎn)M滿足$\overrightarrow{PM}$=2$\overrightarrow{MD}$，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡方程．

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4．對(duì)于任意的n∈N*，數(shù)列{an}滿足$\frac{{a}_{1}-1}{{2}^{1}+1}$+$\frac{{a}_{2}-2}{{2}^{2}+1}$+…+$\frac{{a}_{n}-n}{{2}^{n}+1}$=n+1
（Ⅰ） 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ） 設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，求Sn；
（Ⅲ） 求證：對(duì)于n≥2，$\frac{2}{{a}_{2}}$+$\frac{2}{{a}_{3}}$+…+$\frac{2}{{a}_{n+1}}$＜1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

1．已知a＞b＞0，求證：$\frac{a-b}{a+b}$+$\frac{2^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$＜1．

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2．已知定點(diǎn)A（-1，0），B是圓C：（x-1）2+y2=8（C為圓心）上的動(dòng)點(diǎn)，AB的垂直平分線與BC交于點(diǎn)E．
（1）求動(dòng)點(diǎn)E的軌跡Γ方程；
（2）設(shè)M、N是Γ上位于x軸上方的兩點(diǎn)，且AM∥CN，若|AM|-|CN|=$\frac{3\sqrt{2}}{8}$，求直線AM的方程．

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