Question

2．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD．
（1）求證：平面PAB⊥平面PDC
（2）在線段AB上是否存在一點G，使得二面角C-PD-G的余弦值為$\frac{1}{3}$．若存在，求$\frac{AG}{AB}$的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）推導出PD⊥AP，AB⊥PD，由此能證明平面PAB⊥平面PDC．
（2）取AD的中點O，連接OP，OF，PO⊥AD，以O(shè)為原點，射線OA，OF，OP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系O-xyz，由此利用向量法能求出在線段AB上存在點G（1，$\frac{1}{2}$，0）使得二面角C-PD-G的余弦值為$\frac{1}{3}$，$\frac{AG}{AB}=\frac{1}{4}$．

解答 （本小題滿分12分）
證明：（1）∵AD=2，∴$PA=PD=\sqrt{2}$，
∴PA²+PD²=AD²∴PD⊥AP，
又∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴AB⊥平面PAD，又PD?平面PAD，∴AB⊥PD，
又∵AP∩AP=A，且AP、AB?平面PAB，
∴PD⊥平面PAB，
又PD?平面PDC，∴平面PAB⊥平面PDC…（6分）
解：（2）如圖，取AD的中點O，連接OP，OF，
∵PA=PD，∴PO⊥AD．
又側(cè)面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PO⊥平面ABCD，
而O，F(xiàn)分別為AD，BD的中點，∴OF∥AB，
又ABCD是正方形，∴OF⊥AD，
以O(shè)為原點，射線OA，OF，OP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系O-xyz，
則有A（1，0，0），C（-1，2，0），F(xiàn)（0，1，0），D（-1，0，0），P（0，0，1），…（8分）
若在AB上存在點G，使得二面角C-PD-G的余弦值為$\frac{1}{3}$，連接PG、DG，
設(shè)G（1，a，0）（0≤a≤2），
則$\overrightarrow{DP}$=（1，0，1），$\overrightarrow{GD}$=（-2，-a，0），
由（2）知平面PDC的一個法向量為$\overrightarrow{PA}$=（1，0，-1），
設(shè)平面PGD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）．
則$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow n•\overrightarrow{DP}=0}\\{\overrightarrow n•\overrightarrow{GD}=0}\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{x+z=0}\\{-2x-ay=0}\end{array}}\right.$，．
令y=-2，得$\overrightarrow{n}$=（a，-2，-a），…（10分） 
∴|cos＜$\overrightarrow n$，$\overrightarrow{PA}$＞|=$\frac{2a}{\sqrt{2}•\sqrt{2{a}^{2}+4}}$=$\frac{1}{3}$，解得a=$\frac{1}{2}$，
∴a=$\frac{1}{2}$，此時$\frac{AG}{AB}=\frac{1}{4}$，
∴在線段AB上存在點G（1，$\frac{1}{2}$，0）使得二面角C-PD-G的余弦值為$\frac{1}{3}$，$\frac{AG}{AB}=\frac{1}{4}$．…（12分）

點評 本題考查面面垂直的證明，考查滿足條件的點的位置的判斷與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．