Question

4．過原點的直線l與圓x²+y²-10x+24=0相交與A、B兩點，
（Ⅰ）當弦AB長為$\sqrt{3}$時，求直線l的方程．
（Ⅱ）求弦AB的中點M的軌跡方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設直線l的方程為y=kx，利用弦AB長為$\sqrt{3}$，可得圓心到直線的距離d=$\sqrt{1-\frac{3}{4}}$=$\frac{1}{2}$，即可求直線l的方程．
（Ⅱ）弦AB的中點M的軌跡是以OC為直徑的圓在圓C內的部分，即可求弦AB的中點M的軌跡方程．

解答 解：（Ⅰ）設直線l的方程為y=kx，即kx-y=0，
圓x²+y²-10x+24=0可化為（x-5）²+y²=1，圓心坐標C（5，0），半徑為1，
∵弦AB長為$\sqrt{3}$，
∴圓心到直線的距離d=$\sqrt{1-\frac{3}{4}}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{|5k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{1}{2}$，∴k=±$\frac{\sqrt{11}}{33}$
∴直線l的方程為y=±$\frac{\sqrt{11}}{33}x$；
 （Ⅱ）弦AB的中點M的軌跡是以OC為直徑的圓在圓C內的部分，方程為x²+y²-5x=0（$\frac{24}{5}≤x≤5$）

點評 本題主要考查直線與圓的位置關系，考查軌跡方程的求解，應注意利用圓的特殊性，同時注意所求軌跡的純粹性，避免增解．