Question

13．如圖，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)面B₁BCC₁與底面ABC垂直，且側(cè)面B₁BCC₁為矩形，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，AA₁=$\sqrt{6}$，點M、N分別為棱CC₁、AB的中點．
（1）求證：AC₁∥平面B₁CN
（2）求證：A₁M⊥平面AB₁C₁．

Answer 1

分析 （1）連接BC₁，設BC₁∩B₁C=O，連接ON，證明ON∥AC₁，即可證明AC₁∥平面B₁CN；
（2）建立空間直角坐標系，證明：$\overrightarrow{{A}_{1}M}•\overrightarrow{A{C}_{1}}$=0，$\overrightarrow{{A}_{1}M}•\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$=0，可得A₁M⊥AC₁，A₁M⊥B₁C₁，即可證明A₁M⊥平面AB₁C₁．

解答 證明：（1）連接BC₁，設BC₁∩B₁C=O，連接ON，
∵點O、N分別為BC₁，BA的中點，
∴ON∥AC₁，
又∵ON?平面BC₁N，AC₁?平面BC₁N，
∴AC₁∥平面B₁CN…（4分）
（2）證明：∵側(cè)面B₁BCC₁為矩形，
∴CC₁⊥BC．
∵側(cè)面B₁BCC₁與底面ABC垂直，且交于BC
∴CC₁⊥平面ABC．
如圖所示，以點C為坐標原點，建立空間直角坐標系C-xyz．
△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，∴AB=2，AC=$\sqrt{3}$，
則C（0，0，0），A（$\sqrt{3}$，0，0），B（0，1，0），C₁（0，0，$\sqrt{6}$），A₁（$\sqrt{3}$，0，$\sqrt{6}$），B₁（0，1，$\sqrt{6}$），M（0，0，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）
∴$\overrightarrow{{A}_{1}M}$=（-$\sqrt{3}$，0，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-$\sqrt{3}$，0，$\sqrt{6}$），$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$=（0，-1，0）
∴$\overrightarrow{{A}_{1}M}•\overrightarrow{A{C}_{1}}$=0，$\overrightarrow{{A}_{1}M}•\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$=0，
∴A₁M⊥AC₁，A₁M⊥B₁C₁，
∵AC₁∩B₁C₁=C₁，∴A₁M⊥平面AB₁C₁．

點評 本題考查直線與平面平行、垂直的證明，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．