Question

（2007•河東區(qū)一模）已知：拋物線方程為y=

1

4

x²+1，點P（x₀，y₀）在拋物線上，且點P處拋物線的切線為直線l．
（Ⅰ）寫出直線l的方程；
（Ⅱ）設直線l交x軸于點Q，求使|PQ|的長最小的P點坐標．

Answer 1

分析：解：（I）利用導數(shù)的幾何意義即可得到切線的斜率，利用點斜式即可得到切線方程；
（II）對于切線方程，令y=0，當x₀≠0時，得x=

x 2 0 -4

2x0

，即可得到Q(

x 2 0 -4

2x0

，0)．利用兩點間的距離公式可得|PQ|²，通過換元，利用導數(shù)研究其單調性即可得出其最小值．

解答：解：（I）∵y′=

1

2

x，∴點P處拋物線的切線斜率為

1

2

x0．
∴切線l的方程為y-(

1

4

x

2 0

+1)=

1

2

x0(x-x0)．
（II）令y=0，當x₀≠0時，得x=

x 2 0 -4

2x0

，∴Q(

x 2 0 -4

2x0

，0)．
∴|PQ|²=(x0-

x 2 0 -4

2x0

)2+(

1

4

x

2 0

+1)2=

( x 2 0 +4)2

16

•(

4

x 2 0

+1)．
令t=

x

2 0

＞0，則f（t）=(t+4)2(

4

t

+1)=

(t+4)3

t

．
∴f′（t）=

2(t+4)2(t-2)

t2

，由t＞0，解f′（t）=0得t=2．
當0＜t＜2時，f′（t）＜0，函數(shù)f（t）單調遞減；當2＜t時，f′（t）＞0，函數(shù)f（t）單調遞增．
∴當t=2時，f（t）取得最小值，
從而當x0=±

2

時，|PQ|的長最小，此時P點坐標為(±

2

，

3

2

)．

點評：熟練掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值與最值、幾何意義、切線方程、兩點間的公式等是解題的關鍵．