Question

7．在區(qū)間[1，5]和[2，4]分別取一個數(shù)，記為a，b，則方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$表示焦點在y軸上且離心率小于$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$的橢圓的概率為（　　）

• A． $\frac{3}{8}$
• B． $\frac{15}{32}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{5}{8}$

Answer 1

分析 根據(jù)橢圓的性質(zhì)結(jié)合橢圓離心率，求出a，b滿足的條件，求出對應(yīng)的面積，結(jié)合幾何概型的概率公式進行求解即可．

解答 解：∵在區(qū)間[1，5]和[2，4]分別取一個數(shù)，記為a，b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1≤a≤5}\\{2≤b≤4}\end{array}\right.$，
若方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$表示焦點在y軸上且離心率小于$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
則$\left\{\begin{array}{l}{b＞a}\\{e=\frac{c}{a}＜\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，
由e=$\frac{c}{a}$＜$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$得c＜$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$a，
平方得c²＜$\frac{3}{4}$a²，即a²-b²＜$\frac{3}{4}$a²
即b²＞$\frac{1}{4}$a²，則b＞$\frac{1}{2}$a或b$＜-\frac{1}{2}$a（舍），
即$\left\{\begin{array}{l}{b＞a}\\{b＞\frac{1}{2}a}\end{array}\right.$，
作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
則F（2，2），E（4，4），
則梯形ADEF的面積S=$\frac{（1+3）×2}{2}$=4，矩形的面積S=4×2=8，
則方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$表示焦點在y軸上且離心率小于$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$的橢圓的概率P=$\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$
故選：C．

點評 本題主要考查幾何概型的概率的計算，根據(jù)橢圓的性質(zhì)求出a，b的條件，求出對應(yīng)的面積，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．