Question

11．四邊形ABCD的內(nèi)角A與C互補，AB=BC=2，CD=3，DA=1．
（1）求角C和BD的長；
（2）求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

分析 （1）在三角形BCD中，利用余弦定理列出關(guān)系式，將BC，CD，以及cosC的值代入表示出BD²，在三角形ABD中，利用余弦定理列出關(guān)系式，將AB，DA以及cosA的值代入表示出BD²，由兩者相等求出cosC的值，確定出C的度數(shù)，進而求出BD的長；
（2）由C的度數(shù)求出A的度數(shù)，利用三角形面積公式求出三角形ABD與三角形BCD面積，之和即為四邊形ABCD面積．

解答 解：（1）在△BCD中，BC=2，CD=3，
由余弦定理得：BD²=BC²+CD²-2BC•CDcosC=13-12cosC  ①，
在△ABD中，AB=2，DA=1，A+C=180°，
由余弦定理得：BD²=AB²+AD²-2AB•ADcosA=5-4cosA=5+4cosC   ②，
由①②得：cosC=$\frac{1}{2}$，
由0＜C＜180°得，C=60°，BD=$\sqrt{7}$；
（2）∵C=60°，A+C=180°，則A=120°，
∴sinC=sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
則S=$\frac{1}{2}$AB•DAsinA+$\frac{1}{2}$BC•CDsinC=$\frac{1}{2}$×1×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{2}$×3×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了余弦定理，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及三角形面積公式，熟練掌握定理和公式是解題關(guān)鍵．