Question

2．已知△ABC的面積為1，tanB=$\frac{1}{2}$，tanC=-2，求△ABC的邊長及tanA．

Answer 1

分析 利用誘導(dǎo)公式、兩角和的正切公式求得tanA的值．再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求得角B、C的正弦值和余弦值，可得A的正弦值和余弦值，再利用正弦定理以及△ABC的面積為1，求得各邊長．

解答 解：∵△ABC的面積為1，tanB=$\frac{1}{2}$，tanC=-2，
∴tanA=-tan（B+C）=-$\frac{tanB+tanC}{1-tanBtanC}$=$\frac{3}{4}$．
∵tanB=$\frac{sinB}{cosB}$=$\frac{1}{2}$，可得B為銳角，
∴cosB=$\sqrt{\frac{1}{1{+tan}^{2}B}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，sinB=$\sqrt{{1-cos}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
由tanC=-2，可得C為鈍角，同理求得cosC=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sinC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=$\frac{\sqrt{5}}{5}•（-\frac{\sqrt{5}}{5}）$+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$•$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{3}{5}$．
再根據(jù)△ABC的面積為$\frac{1}{2}$ab•sinC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$ab=1，
以及$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，即 $\frac{a}{\frac{3}{5}}=\frac{\frac{\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{c}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}$，
求得a=$\sqrt{3}$，b=$\frac{\sqrt{15}}{3}$，c=$\frac{2\sqrt{15}}{3}$．

點評 本題主要考查誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和差的三角公式的應(yīng)用，正弦定理，屬于中檔題．