Question

15．某企業(yè)擬對(duì)員工進(jìn)行一次傷寒疫情防治，共有甲、乙、丙三套方案．在員工中隨機(jī)抽取6人，并對(duì)這6人依次檢查．如果這6人都沒有感染傷寒，就不采取措施；如果6人中只有1人或2人感染傷寒，就用甲方案；如果這6人中只有3人感染傷寒，就用乙方案，其余用丙方案．
（Ⅰ）若這6人中只有2人感染傷寒，求檢查時(shí)恰好前2人感染傷寒的概率；
（Ⅱ）若每個(gè)員工感染傷寒的概率為$\frac{1}{2}$，求采用乙方案的概率；
（Ⅲ）這次傷寒疫情防治的費(fèi)用為ξ元．當(dāng)員工無人感染傷寒時(shí)，ξ為0，采用甲、乙、丙三套方案的ξ分別為512、512和1024．求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由這6人中只有2人感染傷寒，利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式能求出檢查時(shí)恰好前2人感染傷寒的概率．
（Ⅱ）由這6人中只有3人感染傷寒，就用乙方案，利用n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算公式能求出采用乙方案的概率．
（Ⅲ）由已知得ξ的可能取值為0，512，1024，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（Ⅰ）∵這6人中只有2人感染傷寒，
∴檢查時(shí)恰好前2人感染傷寒的概率：P₁=$\frac{2}{6}×\frac{1}{5}$=$\frac{1}{15}$．
（Ⅱ）∵這6人中只有3人感染傷寒，就用乙方案，
∴采用乙方案的概率P₂=${C}_{6}^{3}（\frac{1}{2}）^{3}（1-\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{5}{16}$，
（Ⅲ）由已知得ξ的可能取值為0，512，1024，
P（ξ=0）=${C}_{6}^{0}（\frac{1}{2}）^{6}$=$\frac{1}{64}$，
P（ξ=512）=${C}_{6}^{1}（\frac{1}{2}）（\frac{1}{2}）^{5}$+${C}_{6}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}（\frac{1}{2}）^{4}+{C}_{6}^{3}（\frac{1}{2}{）^{3}（\frac{1}{2}）^{3}}_{\;}$=$\frac{41}{64}$，
P（ξ=1024）=${C}_{6}^{4}（\frac{1}{2}）^{4}（\frac{1}{2}）^{2}$+${C}_{6}^{5}（\frac{1}{2}）^{5}（\frac{1}{2}）$+${C}_{6}^{6}（\frac{1}{2}）^{6}$=$\frac{22}{64}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	512	1024
P	$\frac{1}{64}$	$\frac{41}{64}$	$\frac{22}{64}$

Eξ=$0×\frac{1}{64}+512×\frac{41}{64}+1024×\frac{22}{64}$=680．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．