Question

4．如圖所示，四棱錐S-ABCD的底面四邊形ABCD為平行四邊形，其中AC⊥BD，且AC、BD相交于O，∠SBC=∠SBA．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面SBD；
（Ⅱ）若AC=AB=SB=2，∠SBD=60°，點M是SB中點，求三棱錐A-BMC的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知平行四邊形中AC⊥BD，可得四邊形ABCD為菱形，故AB=BC，然后證明△ABS≌△CBS，得到SA=AC，結(jié)合AO=CO，可得SO⊥AC，再由線面垂直的判定可得AC⊥平面SBD；
（Ⅱ）由題意可得△ABC是等邊三角形，求出三角形ABC的面積，過點M作MN⊥BD，垂足為點N，結(jié)合（Ⅰ）可知MN⊥平面ABCD，求解直角三角形得到MN的長度，然后利用等積法求得三棱錐A-BMC的體積．

解答 （Ⅰ）證明：依題意，平行四邊形ABCD中，AC⊥BD，
故四邊形ABCD為菱形，故AB=BC，
∵AB=BC，∠SBC=∠SBA，SB=SB，
∴△ABS≌△CBS，
∴SA=AC，
∵AO=CO，故SO⊥AC，
又AC⊥BD，SO∩BD=O，SO?平面SBD，BD?平面SBD，
故AC⊥平面SBD；
（Ⅱ）解：依題意，△ABC是等邊三角形，AC=BC=2，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×{2}^{2}sin60°=\sqrt{3}$，
過點M作MN⊥BD，垂足為點N，
由（Ⅰ）知MN⊥AC，
故MN⊥平面ABCD，
在Rt△MBN中，MN=MBsin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故三棱錐A-BMC的體積為${V}_{A-BMC}={V}_{M-ABC}=\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}$．

點評 本題考查直線與平面垂直的判定，考查棱錐、棱錐及棱臺體積的求法，訓(xùn)練了等積法求三棱錐的體積，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．