Question

7．已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均是正數(shù)，其前n項(xiàng)和為S_n，滿足S_n=4-a_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=$\left\{\begin{array}{l}{{log}_{{\frac{1}{2}}^{{a}_{n}}}}（n為奇數(shù)）\\{{a}_{n}（n為偶數(shù)）}\end{array}\right.$（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前2n項(xiàng)和T_2n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）n為奇數(shù)時(shí)，b_n=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（\frac{1}{2}）^{n-2}$=n-2．n為偶數(shù)時(shí)，b_n=$（\frac{1}{2}）^{n-2}$．分組分別利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）由S_n=4-a_n，S_n+1=4-a_n+1，兩式相減得a_n+1=a_n-a_n+1，
得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，
又a₁=S₁=4-a₁，解得a₁=2．
故數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列．
故a_n=2×$（\frac{1}{2}）^{n-1}$=$（\frac{1}{2}）^{n-2}$．
（2）n為奇數(shù)時(shí)，b_n=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（\frac{1}{2}）^{n-2}$=n-2．
n為偶數(shù)時(shí)，b_n=$（\frac{1}{2}）^{n-2}$．
∴T_2n=（b₁+b₃+…+b_2n-1）+（b₂+b₄+…+b_2n）
=[-1+1+…+（2n-3）]+$（\frac{1}{2}）^{0}+（\frac{1}{2}）^{2}$+…+$（\frac{1}{2}）^{2n-2}$
=$\frac{（-1+2n-3）×n}{2}$+$\frac{1-（\frac{1}{4}）^{n}}{1-\frac{1}{4}}$
=n²-2n+$\frac{4}{3}$$[1-（\frac{1}{4}）^{n}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其求和公式、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．