Question

15．已知f（x）=e^x-x，g（x）=lnx+x+1，命題p：?x∈R，f（x）＞0，命題q：?x₀∈（0，+∞），使得g（x₀）=0，則下列說法正確的是（　�。�

• A． p是真命題，￢p：?x₀∈R，f（x₀）＜0
• B． p是假命題，￢p：?x₀∈R，f（x₀）≤0
• C． q是真命題，￢q：?x∈（0，+∞），g（x）≠0
• D． q是假命題，￢q：?x∈（0，+∞），g（x）≠0

Answer 1

分析 利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)零點(diǎn)存在條件分別判斷命題p，q的真假，結(jié)合含有量詞的命題的否定進(jìn)行判斷即可．

解答 解：f′（x）=e^x-1，由f′（x）＞0得x＞0，由f′（x）＜0得x＜0，
即當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值，同時(shí)也是最小值f（0）=e⁰-0=1-0=1＞0，
∴?x∈R，f（x）＞0成立，即p是真命題．
g（x）=lnx+x+1在（0，+∞）上為增函數(shù)，當(dāng)x→0時(shí)，g（x）＜0，g（1）=0+1+1=2＞0，
則：?x₀∈（0，+∞），使得g（x₀）=0成立，即命題q是真命題．
則￢p：?x₀∈R，f（x₀）≤0，
￢q：?x∈（0，+∞），g（x）≠0，
綜上只有C成立，
故選：C

點(diǎn)評 本題主要考查命題的真假判斷以及含有量詞的命題的否定，利用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷是解決本題的關(guān)鍵．