Question

【題目】如圖，四邊形中， ， ， ， ， 分別在上， ，現(xiàn)將四邊形沿折起，使.

（1）若，在折疊后的線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由；

（2）求三棱錐的體積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：

(1)利用折疊前后的線面平行的性質(zhì)討論可得上存在一點(diǎn)，使得平面，此時(shí).

(2)由題意得到體積函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)， 有最大值，且最大值為3，結(jié)合余弦定理和三角形面積公式可知此時(shí)點(diǎn)到平面的距離為.

試題解析：

（1）上存在一點(diǎn)，使得平面，此時(shí).

理由如下：

當(dāng)時(shí)， ，

過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連結(jié)，

則有，

∵，可得，

故，

又， ，

故有，

故四邊形為平行四邊形，

∴，

又∴平面, 平面，

故有∴平面成立.

（2）設(shè)，

∴， ，

故 ，

∴當(dāng)時(shí)， 有最大值，且最大值為3，

此時(shí)，

在中，由余弦定理得

，

∴，

,

設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，

由于，

即，

∴，

即點(diǎn)到平面的距離為.