Question

（本題滿分14分）
對(duì)數(shù)列{a_n}，規(guī)定{△a_n}為數(shù)列{a_n}的一階差分?jǐn)?shù)列，其中。
對(duì)自然數(shù)k，規(guī)定為{a_n}的k階差分?jǐn)?shù)列，其中。
（1）已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，試判斷是否為等差或等比數(shù)列，為什么？
（2）若數(shù)列{a_n}首項(xiàng)a₁=1，且滿足，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式。
（3）對(duì)（2）中數(shù)列{a_n}，是否存在等差數(shù)列{b_n}，使得對(duì)一切自然都成立？若存在，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；若不存在，則請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

（1）根據(jù)給定的新定義來(lái)分析得到結(jié)論。
（2）
（3）存在等差數(shù)列，b_n=n，使得對(duì)一切自然都成立。

試題分析：解：（1）
是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列

是首項(xiàng)為2，公差為0的等差數(shù)列；也是首項(xiàng)為2，公比為1的等比數(shù)列
（2），即，即


猜想：
證明：i）當(dāng)n=1時(shí)，；
ii）假設(shè)n=k時(shí)，時(shí)，
結(jié)論也成立
∴由i）、ii）可知，
（3），即

∴存在等差數(shù)列，b_n=n，使得對(duì)一切自然都成立。
點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是利用數(shù)列的定義以及等差數(shù)列的概念結(jié)合得到結(jié)論，屬于基礎(chǔ)題。