Question

已知函數(shù)f（x）=cos（2x-

π

3

）-2sin²x．
（1）求f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）集合A={x|0≤x≤

π

2

}，B={x|f（x）-m＞

3

}，若A∪B=B，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,并集及其運算

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)二倍角公式和和差角公式（輔助角公式），可將函數(shù)解析式化為正弦型函數(shù)，結(jié)合ω值，可求出函數(shù)的周期，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造不等式解出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）由A∪B=B，可得：A⊆B，即x∈[0，

π

2

]，f(x)-m＞

3

恒成立，即f(x)＞m+

3

恒成立，即f(x)min＞m+

3

，進而得到m的取值范圍．

解答： 解：（1）f（x）=cos（2x-

π

3

）-2sin²x=cos2x•

1

2

+sin2x•

3

2

-(1-cos2x)=

3

sin(2x+

π

3

)-1，
∵ω=2，
∴T=π，
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈Z
解得：-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ，k∈Z
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ]，k∈Z
（2）集合A={x|0≤x≤

π

2

}，B={x|f（x）-m＞

3

}，A∪B=B，
∴A⊆B，
∴x∈[0，

π

2

]，f(x)-m＞

3

恒成立，
∴f(x)＞m+

3

∴f(x)min＞m+

3

，
∵x∈[0，

π

2

]，2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，
∴f(x)min=

3

•(-

3

2

)-1=-

5

2

∴-

5

2

＞m+

3

，
∴m＜-

5

2

-

3

點評：本題考查的知識點是三角函數(shù)中的恒等變換應用，集合的包含關(guān)系，恒成立問題，是三角函數(shù)與集合的綜合應用，難度中檔．