Question

命題：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l與拋物線y²=2x相交于A，B兩點(diǎn)，如果直線l過(guò)點(diǎn)T（3，0）．那么

OA

•

OB

=3．寫(xiě)出上述命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：四種命題

專(zhuān)題：推理和證明

分析：根據(jù)四種命題的定義，可寫(xiě)出原命題的逆命題，并判斷其為假命題；
方法一：舉出反例A（2，2），B（

1

2

，1），得到T（3，0）不在直線AB上，從而證明逆命題為假命題；
方法二：設(shè)直線l：x=ty+b，聯(lián)立拋物線方程，根據(jù)

OA

•

OB

=3，求出T點(diǎn)坐標(biāo)不是（3，0）．從而證明逆命題為假命題；

解答： 解：原命題的逆命題是：設(shè)直線l交拋物線y²=2x于A、B兩點(diǎn)，
如果

OA

•

OB

=3，那么該直線過(guò)點(diǎn)T（3，0）．------（4分）
該命題是假命題-------------------------（6分）
理由1：取拋物線上的點(diǎn)A（2，2），B（

1

2

，1），此時(shí)

OA

•

OB

=3，
直線AB的方程為：y=

2

3

（x+1），而T（3，0）不在直線AB上．----（12分）
故此命題為假命題．-------------------------------（13分）
理由2：設(shè)直線l：x=ty+b，代入拋物線y²=2x消去x，得y²-2ty-2b=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=2t，y₁y₂=-2b，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=（ty₁+b）（ty₂+b）+y₁y₂=t²y₁y₂+bt（y₁+y₂）+b²+y₁y₂=b²-2b，------------（9分）
令b²-2b=3，得b=3或b=-1．
此時(shí)直線l過(guò)點(diǎn)（3，0）或（-1，0）-----------------------（12分）
故此命題為假命題．-------------------（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是四種命題，命題的真假判斷，是簡(jiǎn)單邏輯的綜合運(yùn)用，難度中檔．