Question

9．定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+4）=f（x）+f（2），且當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，y=f（x）單調(diào)遞減，若方程f（x）=m在[-2，10]上有6個(gè)實(shí)根x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，x₆，則x₁+x₂+x₃+x₄+x₅+x₆=（　�。�

• A． 6
• B． 12
• C． 20
• D． 24

Answer 1

分析 確定x=2是函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸，周期T=4，結(jié)合條件，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵f（x+4）=f（x）+f（2），令x=-2，則f（-2+4）=f（-2）+f（2），∴f（2）=2f（2），解得f（2）=0；
又f（x+4）=f（x），∴f（4-x）=f（-x）=f（x），∴x=2是函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸，周期T=4，
又函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，關(guān)于y軸對(duì)稱，因此x=4也是其對(duì)稱軸，函數(shù)f（x）在區(qū)間[6，8]上單調(diào)遞增．
∵當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，y=f（x）單調(diào)遞減，f（2）=0，
∴當(dāng)x∈[0，2）時(shí)，f（x）＞0，不妨取x₂=2，
則f（x₂）=0．
同理在區(qū)間[-2，0）上只有f（-2）=0，取x₁=-2，滿足f（x₁）=0．
可知：x₁+x₂=-2+2=0．
同理，x₃+x₄=8，x₅+x₆=16，
∴x₁+x₂+x₃+x₄+x₅+x₆=24，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了函數(shù)奇偶性、單調(diào)性、周期性，考查了推理能力和數(shù)形結(jié)合能力，屬于難題．