Question

15．如圖所示，設a、b為異面直線，AB⊥a于A，AB⊥b于B
（1）如圖1，α為平面，若a∥α，b∥α．求證：AB⊥α；
（2）如圖2，若a⊥α，b⊥β．α∩β=c．求證：AB∥c

Answer 1

分析 （1）在α內構造分別于a，b平行的直線a'，b'，只需證明a'，b'是相交直線即可；
（2）設b與β的交點為N，過B作α的垂線BM，利用線面垂直的性質即可得出a∥BM，故而AB⊥平面BMN，由線面垂直的性質可得c⊥b，c⊥BM，故而c⊥平面BMN，于是c∥AB．

解答 證明：（1）∵a∥α，b∥α，
∴存在a'?α，b'?α，使得a∥a'，b∥b'．
∵若a'∥b'，則a∥b，與a、b為異面直線相矛盾，
∴a'，b'為相交直線．
∵AB⊥a，AB⊥b，
∴AB⊥a'，AB⊥b'．
∴AB⊥α．
（2）設b與平面β的垂足為N，過B作BM⊥α，垂足為M，
∵a⊥α，BM⊥α，
∴a∥BM，∵AB⊥a，
∴AB⊥BM，又∵AB⊥b，b∩BM=B，
∴AB⊥平面BMN．
∵BM⊥α，b⊥β，α∩β=c，
∴BM⊥c，b⊥c，又b∩BM=B，
∴c⊥平面BMN，
∴AB∥c．

點評 本題考查了線面平行的性質與判定，構造直線是解決問題的關鍵之處．