Question

1．已知變量x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{y≥0}\\{y≤x}\\{y≤2-x}\end{array}\right.$，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（b＞a＞0）的最大值為9，則$\frac{2}{a}$+$\frac{8}$的最小值為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 10
• D． 12

Answer 1

分析 作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義確定取得最大值的條件，然后利用基本不等式進(jìn)行求$\frac{2}{a}$+$\frac{8}$的最小值．

解答 解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得$y=-\frac{a}x+\frac{z}$，
∵b＞a＞0，∴直線的斜率k=-$\frac{a}$∈（-1，0），
作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
平移直線得$y=-\frac{a}x+\frac{z}$，由圖象可知當(dāng)直線$y=-\frac{a}x+\frac{z}$經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線$y=-\frac{a}x+\frac{z}$的截距最大，此時(shí)z最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=2-x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，即A（1，1），
此時(shí)目標(biāo)函數(shù)z=ax+by的最大值為9，
即a+b=9，∴$\frac{1}{9}$（a+b）=1，
$\frac{2}{a}$+$\frac{8}$=（$\frac{2}{a}$+$\frac{8}$）×1=（$\frac{2}{a}$+$\frac{8}$）×$\frac{1}{9}$（a+b）=$\frac{2}{9}$+$\frac{8}{9}$+$\frac{2b}{9a}$+$\frac{8a}{9b}$
≥$\frac{10}{9}$+2$\sqrt{\frac{2b}{9a}•\frac{8a}{9b}}$=$\frac{10}{9}$+2×$\frac{4}{9}$=$\frac{18}{9}$=2，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{2b}{9a}$=$\frac{8a}{9b}$，即b=2a，即b=6，a=3時(shí)取等號(hào)．
即$\frac{2}{a}$+$\frac{8}$的最小值為2，
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的基本應(yīng)用，以及基本不等式的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合求出目標(biāo)函數(shù)取得最大值的條件是解決本題的關(guān)鍵．