Question

17．已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＞0，b∈R，C∈R），若函數(shù)f（x）的最小值是f（-1）=0，f（0）=1且對(duì)稱(chēng)軸是x=-1，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x）（x＞0）}\\{-f（x）（x＜0）}\end{array}\right.$
（1）求g（2）+g（-2）的值；
（2）求f（x）在區(qū)間[t，t+2]（t∈R）的最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知得$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）=a-b+c=0}\\{f（0）=c=1}\\{-\frac{2a}=-1}\end{array}\right.$，從而求出f（x）=（x+1）²，$g（x）=\left\{\begin{array}{l}{（x+1）^{2}，x＞0}\\{-（x+1）^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，由此能求出g（2）+g（-2）．
（2）當(dāng)t≤-3時(shí) f（x）在區(qū)間[t，t+2]上單調(diào)遞減，當(dāng)-3＜t＜-1時(shí)，f（x）在區(qū)間[t，-1]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[-1，t+2]上單調(diào)遞增．當(dāng) t≥-1時(shí)，f（x）在區(qū)間[t，t+2]上單調(diào)遞增，由此能求出f（x）_min．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＞0，b∈R，C∈R），函數(shù)f（x）的最小值是f（-1）=0，f（0）=1且對(duì)稱(chēng)軸是x=-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）=a-b+c=0}\\{f（0）=c=1}\\{-\frac{2a}=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\\{c=1}\end{array}\right.$，
∴f（x）=x²+2x+1=（x+1）²
∵g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x）（x＞0）}\\{-f（x）（x＜0）}\end{array}\right.$，∴$g（x）=\left\{\begin{array}{l}{（x+1）^{2}，x＞0}\\{-（x+1）^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，
∴g（2）+g（-2）=（2+1）²-（2-1）²=8．
（2）當(dāng)t+2≤-1時(shí)，即t≤-3時(shí) 
f（x）=（x+1）²在區(qū)間[t，t+2]上單調(diào)遞減
∴$f{（x）_{min}}=f（t+2）={（t+3）^2}$
當(dāng) t＜-1＜t+2時(shí)，即-3＜t＜-1時(shí) 
f（x）=（x+1）²在區(qū)間[t，-1]上單調(diào)遞減，
f（x）=（x+1）²在區(qū)間[-1，t+2]上單調(diào)遞增．
當(dāng) t≥-1時(shí)，f（x）=（x+1）²在區(qū)間[t，t+2]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（t）=（t+1）²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)值的求法，考查函數(shù)值的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)和分類(lèi)討論思想的合理運(yùn)用．