Question

已知函數(shù)f（x）=a^x+k（a＞0，a≠1）的圖象過（-1，1）點，其反函數(shù)f^-1（x）的圖象過點（8，2）．
1）求a、k的值（12’）；
2）若將y=f^-1（x）的圖象向左平移2個單位，再向上平移1個單位，得到y(tǒng)=g（x）的圖
像，寫出y=g（x）的解析式；
3）若函數(shù)F（x）=g（x²）-f^-1（x），求F（x）的最小值及取最小值時的x的值．

Answer 1

1）∵函數(shù)f（x）=a^x+k（a＞0，a≠1）的圖象過（-1，1）點，
∴1=a^k-1…①
又∵函數(shù)f（x）=a^x+k其反函數(shù)f^-1（x）的圖象過點（8，2）．
故函數(shù)f（x）=a^x+k（a＞0，a≠1）的圖象過（2，8）點，
∴8=a^k+2…①
由①②得
a=2，k=1
2）由1）得f（x）=2^x+1
∴y=f^-1（x）=log₂x-1
將y=f^-1（x）的圖象向左平移2個單位，再向上平移1個單位，得到y(tǒng)=g（x）的圖象，
∴y=g（x）=log₂（x-2）-1+1
∴g（x）=log₂（x+2），（x＞-2）；
3）∵函數(shù)F（x）=g（x²）-f^-1（x），
又∵g（x）=log₂（x+2），f^-1（x）=log₂x-1
∴g（x²）=log₂（x²+2），
∴F（x）=g（x²）-f^-1（x）=log₂（x²+2）-log₂x+1
∴F(x)=log2(x+

2

x

)+1，x＞0?x=

2

時，F(xiàn)(x)min=

5

2

．