Question

3．某學校為了了解本校高一學生每周課外閱讀時間（單位：小時）的情況，按10%的比例對該校高一600名學生進行抽樣統(tǒng)計，將樣本數(shù)據(jù)分為5組：第一組[0，2），第二組[2，4），第三組[4，6），第四組[6，8），第五組[8，10），并將所得數(shù)據(jù)繪制成如圖所示的頻率分布直方圖：
（Ⅰ）求圖中的x的值；
（Ⅱ）估計該校高一學生每周課外閱讀的平均時間；
（Ⅲ）為了進一步提高本校高一學生對課外閱讀的興趣，學校準備選拔2名學生參加全市閱讀知識競賽，現(xiàn)決定先在第三組、第四組、第五組中用分層抽樣的放法，共隨機抽取6名學生，再從這6名學生中隨機抽取2名學生代表學校參加全市競賽，在此條件下，求第三組學生被抽取的人數(shù)X的數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)頻率和為1，列出方程求出x的值；
（Ⅱ）利用頻率分布直方圖計算平均數(shù)即可；
（Ⅲ）利用分層抽樣原理計算從第三組、第四組、第五組中依次抽取的人數(shù)，
得出X的可能取值，計算對應的概率，寫出分布列，求出數(shù)學期望．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)頻率和為1，列出方程
（0.150+0.200+x+0.050+0.025）×2=1，
解得x=0.075；
（Ⅱ）估計該校高一學生每周課外閱讀的平均時間為
$\overline{x}$=1×0.3+3×0.4+5×0.15+7×0.1+9×0.05=3.40（小時）；
（Ⅲ）由題意知從第三組、第四組、第五組中依次分別
抽取3名，2名和1名學生，因此X的可能取值為0、1、2；
則P（X=0）=$\frac{{C}_{3}^{0}{•C}_{3}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{5}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{•C}_{3}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{3}{5}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}{•C}_{3}^{0}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{5}$；
所以X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

數(shù)學期望為EX=0×$\frac{1}{5}$+1×$\frac{3}{5}$+2×$\frac{1}{5}$=1．

點評 本題考查了頻率分布直方圖與離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望的計算問題，是綜合題．