Question

11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，拋物線(xiàn)E：x²=4y的焦點(diǎn)是橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若A，B分別是橢圓C的左、右頂點(diǎn)，直線(xiàn)y=k（x-4）（k≠0）與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，直線(xiàn)x=1與直線(xiàn)BM交于點(diǎn)P．
（i）證明：A，P，N三點(diǎn)共線(xiàn)；
（ii）求△OMN面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意知$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$⇒a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，即可；
（Ⅱ）（i）將直線(xiàn)y=k（x-4）（k≠0）代入橢圓C得：（1+4k²）x²-32k²x+64k²-4=0．則M（x₁，k（x₁-4）），N（x₂，k（x₂-4））．要證A，P，N三點(diǎn)共線(xiàn)，只證明$\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{AN}$共線(xiàn)即可，即證明$\frac{k（{x}_{1}-4）}{{x}_{1}-2}（{x}_{2}+2）=3k（{x}_{2}-4）$成立．
（ii）將直線(xiàn)y=k（x-4）（k≠0）變形為x=my+4，（m=$\frac{1}{k}$）．聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$得（m²-4）y²+8my-12=0．
|MN|=$\sqrt{1+{m}^{2}}\frac{4\sqrt{{m}^{2}-12}}{{m}^{2}+4}$，點(diǎn)O到直線(xiàn)MN的距離d=$\frac{4}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$．△OMN面積S=$\frac{1}{2}$×|MN|×d即可．

解答 解：（Ⅰ）由題意知$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$⇒a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（Ⅱ）（i）證明：將直線(xiàn)y=k（x-4）（k≠0）代入橢圓C得：（1+4k²）x²-32k²x+64k²-4=0．
$△=16（1-12{k}^{2}）＞0，解得-\frac{\sqrt{3}}{6}＜k＜\frac{\sqrt{3}}{6}$．
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{32{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{64{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，…①
則M（x₁，k（x₁-4）），N（x₂，k（x₂-4））．
∴BM的方程為：$y=\frac{k（{x}_{1}-4）}{{x}_{1}-2}（x-2）$，⇒P（1，$\frac{k（{x}_{1}-4）}{{x}_{1}-2}$）
∴$\overrightarrow{AP}=（3，\frac{k（{x}_{1}-4）}{{x}_{1}-2}），\overrightarrow{AN}=（{x}_{2}+2，k（{x}_{2}-4）$）．
要證A，P，N三點(diǎn)共線(xiàn)，只證明$\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{AN}$共線(xiàn)即可，
即證明$\frac{k（{x}_{1}-4）}{{x}_{1}-2}（{x}_{2}+2）=3k（{x}_{2}-4）$成立．
即證明2x₁x₂-5（x₁+x₂）-8=0，將①代入上式顯然成立．
∴A，P，N三點(diǎn)共線(xiàn)．
（ii）將直線(xiàn)y=k（x-4）（k≠0）變形為x=my+4，（m=$\frac{1}{k}$）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$得（m²-4）y²+8my-12=0．△=16（m²-12）＞0⇒m²＞12．
|MN|=$\sqrt{1+{m}^{2}}\frac{4\sqrt{{m}^{2}-12}}{{m}^{2}+4}$，
點(diǎn)O到直線(xiàn)MN的距離d=$\frac{4}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$．
△OMN面積S=$\frac{1}{2}$×|MN|×d=$\frac{8\sqrt{{m}^{2}-12}}{{m}^{2}+4}=\frac{8\sqrt{{m}^{2}-12}}{{m}^{2}-12+16}$=$\frac{8}{\sqrt{{m}^{2}-12}+\frac{16}{\sqrt{{m}^{2}-12}}}$$≤\frac{8}{8}=1$．
當(dāng)且僅當(dāng)m=±2$\sqrt{7}$，及k=±$\frac{\sqrt{7}}{14}$時(shí)等號(hào)成立．
∴當(dāng)直線(xiàn)方程為：y=±$\frac{\sqrt{7}}{14}（x-4）$時(shí)，△OMN面積的最大為1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的方程、直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系、利用向量證明三點(diǎn)共線(xiàn)、運(yùn)算能力，屬于難題，