Question

12．在平面直角坐標系xOy中，直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{3}{5}t}\\{y=\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），與曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=4{k}^{2}}\\{y=4k}\end{array}\right.$（k為參數(shù)）交于A，B兩點，求線段AB的長．

Answer 1

分析 方法一：直線l的參數(shù)方程化為普通方程得4x-3y=4，將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程得y²=4x．聯(lián)立求出交點坐標，利用兩點之間的距離公式即可得出．
方法二：將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程得y²=4x． 直線l的參數(shù)方程代入拋物線C的方程得 4t²-15t-25=0，利用AB=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$即可得出．

解答 解：（方法一）直線l的參數(shù)方程化為普通方程得4x-3y=4，
將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程得y²=4x．             …（4分）
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}4x-3y=4\\ y2=4x\end{array}$   解得 $\left\{\begin{array}{l}x=4\\ y=4\end{array}$，或$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{4}\\ y=-1\end{array}$
所以A（4，4），B（$\frac{1}{4}$，-1）．                             …（8分）
所以AB═$\frac{25}{4}$．                     …（10分）
（方法二）將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程得y²=4x．      …（2分）
直線l的參數(shù)方程代入拋物線C的方程得   （$\frac{4}{5}$t）²=4（1+$\frac{3}{5}t$），即4t²-15t-25=0，
所以 t₁+t₂=$\frac{15}{4}$，t₁t₂=-$\frac{25}{4}$．                           …（6分）
所以AB=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\frac{25}{4}$．  …（10分）

點評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程及其應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．