Question

6．已知直線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα+1}\\{y=tsinα+2}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），圓C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα+1}\\{y=tsinα+2}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）
（Ⅰ）若直線C₁經(jīng)過點（2，3），求直線C₁的普通方程；若圓C₂經(jīng)過點（2，2），求圓C₂的普通方程；
（Ⅱ）點P是圓C₂上一個動點，若|OP|的最大值為4，求t的值．

Answer 1

分析 （I）直線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα+1}\\{y=tsinα+2}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t化為普通方程：y=（x-1）tanα+2，把點（2，3）代入，解得tanα，即可得出直線C₁的普通方程．由圓C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα+1}\\{y=tsinα+2}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），利用cos²α+sin²α=1消去參數(shù)α化為普通方程，把點（2，2）代入解得t²，即可得出圓C₂的普通方程．
（II）由題意可得：|OP|_max=|OC₂|+|t|，代入解得t即可得出．

解答 解：（I）直線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα+1}\\{y=tsinα+2}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t化為普通方程：y=（x-1）tanα+2，
∵直線C₁經(jīng)過點（2，3），∴3=tanα+2，解得tanα=1．
∴直線C₁的普通方程為y=x+1．
圓C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα+1}\\{y=tsinα+2}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），化為普通方程：（x-1）²+（y-2）²=t²，
∵圓C₂經(jīng)過點（2，2），∴t²=1，
∴圓C₂的普通方程為：（x-1）²+（y-2）²=1．
圓心C₂=（1，2），半徑r=1．
（II）由題意可得：|OP|_max=|OC₂|+|t|，∴4=$\sqrt{5}$+|t|，解得t=±（4-$\sqrt{5}$）．

點評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、點與圓的位置關(guān)系、兩點之間的距離公式、三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．