Question

已知曲線C：

x2

4

+y²=1，直線l

x=t y= 2 - 3 t

（t為參數(shù)）
（1）以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立直角坐標系，寫出直線l的極坐標方程和曲線C的參數(shù)方程；
（2）過曲線C上任意一點P作與l夾角為30°的直線，交l于點A，求|PA|的最大值與最小值．

Answer 1

考點：直線的參數(shù)方程,直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由直線l

x=t y= 2 - 3 t

（t為參數(shù)），把x=t代入y=

2

-

3

t消去參數(shù)可得直角坐標方程，把

x=ρcosθ y=ρsinθ

代入可得極坐標方程．由曲線C：

x2

4

+y²=1，可得參數(shù)方程為

x=2cosα y=sinα

（α為參數(shù)，α∈[0，2π））．
（2）如圖所示，設橢圓上的任意一點P（2cosα，sinα）（α∈[0，2π））．則點P到直線l的距離d=

|2 3 cosα+sinα- 2 |

2

=

| 13 sin(α+φ)- 2 |

2

，可得最大值，
因此|PA|的最大值為

d

sin30°

．

解答： 解：（1）由直線l

x=t y= 2 - 3 t

（t為參數(shù)），消去參數(shù)化為y=

2

-

3

x，把

x=ρcosθ y=ρsinθ

代入可得

3

ρcosθ+ρsinθ-

2

=0．
由曲線C：

x2

4

+y²=1，可得參數(shù)方程為

x=2cosα y=sinα

（α為參數(shù)，α∈[0，2π））．
（2）如圖所示，
過曲線C上任意一點P作與l夾角為30°的直線，交l于點A，設橢圓上的任意一點P（2cosα，sinα）（α∈[0，2π））．
則點P到直線l的距離d=

|2 3 cosα+sinα- 2 |

2

=

| 13 sin(α+φ)- 2 |

2

≤

13 + 2

2

，
∴|PA|的最大值為

13 + 2 2

sin30°

=

13

+

2

．

點評：本題考查了直線的參數(shù)方程化為直角坐標方程、化為極坐標方程、點到直線的距離公式、直角三角形的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．