13.設(shè)點P為公共焦點F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0)的橢圓和雙曲線的一個交點,且cos∠F1PF2=$\frac{3}{5}$,已知橢圓的長軸長是雙曲線實軸長的4倍,則雙曲線的離心率為( 。
A.$\frac{1}{2}$B.2C.$\sqrt{2}$D.$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

分析 設(shè)橢圓半長軸與雙曲線的半實軸分別為a1,a2,半焦距為c.設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n,不妨設(shè)m>n,由橢圓與雙曲線的定義可得:m+n=2a1,m-n=2a2.又4c2=m2+n2-2mncos∠F1PF2,cos∠F1PF2=$\frac{3}{5}$,即可得出雙曲線的離心率.

解答 解:設(shè)橢圓與雙曲線的半長軸分別為a1,a2,半焦距為c,e2=$\frac{c}{{a}_{2}}$.
設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n,不妨設(shè)m>n,
則m+n=2a1,m-n=2a2
∴m2+n2=2a12+2a22,mn=a12-a22,
由余弦定理可得4c2=m2+n2-2mncos∠F1PF2,
∴4c2=2a12+2a22-2(a12-a22)×$\frac{3}{5}$.
化為:5c2=a12+4a22,
由題意可得a1=4a2,
即有5c2=16a22+4a22
即為c2=4a22,
可得雙曲線的離心率為e2=$\frac{c}{{a}_{2}}$=2.
故選:B.

點評 本題考查了橢圓與雙曲線的定義、標準方程及其性質(zhì)、余弦定理,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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