Question

4．給出下列四個命題：
①函數(shù)$f（x）=sinx+\sqrt{3}cosx+1$的一個對稱中心坐標是$（{-\frac{π}{3}，0}）$；
②函數(shù)y=a^（3-x）+1（a＞0且a≠1）的圖象恒過定點（3，2）；
③函數(shù)f（x）=ln（2x-x²）的單調(diào)減區(qū)間是[1，+∞）；
④若函數(shù)f（x）的定義域（-1，1），則函數(shù)f（x+1）的定義域是（-2，0），
其中正確的命題個數(shù)是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①根據(jù)輔助角公式將函數(shù)進行化簡，結(jié)合三角函數(shù)對稱性的性質(zhì)進行判斷即可．
②根據(jù)指數(shù)函數(shù)過定點的性質(zhì)進行判斷．
③根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性和定義域之間的關(guān)系進行判斷．
④根據(jù)復合函數(shù)定義域之間的關(guān)系進行判斷．

解答 解：①函數(shù)$f（x）=sinx+\sqrt{3}cosx+1$=2sin（x+$\frac{π}{3}$）+1，
當x=-$\frac{π}{3}$，則f（-$\frac{π}{3}$）=1，即函數(shù)的一個對稱中心坐標為（-$\frac{π}{3}$，1），故①錯誤；
②當x=3時，y=1+1=2，即函數(shù)y=a^（3-x）+1（a＞0且a≠1）的圖象恒過定點（3，2）；故②正確，
③由2x-x²＞0得0＜x＜2，即函數(shù)的定義域為（0，2），則函數(shù)f（x）=ln（2x-x²）的單調(diào)減區(qū)間是[1，+∞）錯誤；故③錯誤，
④若函數(shù)f（x）的定義域（-1，1），則由-1＜x+1＜1得-2＜x＜0，
則函數(shù)f（x+1）的定義域是（-2，0），正確，故④正確，
故正確的是②④，
故選：B

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及三角函數(shù)的性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)，復合函數(shù)單調(diào)性，綜合性較強，難度不大．