Question

求函數(shù)f（x）=-2x³+6ax（0≤x≤1）的最大值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的概念及應用

分析：f′（x）=-6x²+6a，由f′（x）=0，得x²=a，解得x=

a

，或x=-

a

，由此利用a的取值范圍分類討論，能求出函數(shù)f（x）=-2x³+6ax（0≤x≤1）的最大值．

解答： 解：∵f（x）=-2x³+6ax（0≤x≤1），
∴當a≤0時，f（x）=-2x³+6ax（0≤x≤1）的最大值為：
f（0）=0．
當0＜a≤1時，
f′（x）=-6x²+6a，
由f′（x）=0，得x²=a，解得x=

a

，或x=-

a

（∵-

a

∉[0，1]，∴舍去），
∵f（0）=0，
f（

a

）=-2a

a

+6a

a

=4a

a

，
f（1）=-2+6a，
∴函數(shù)f（x）=-2x³+6ax（0≤x≤1）的最大值為4a

a

．
當a＞1時，
∵由f′（x）=0，得x²=a，解得x=

a

，或x=-

a

，

a

，-

a

均不屬于[0，1]，
f（0）=0，
f（1）=-2+6a，
∴函數(shù)f（x）=-2x³+6ax（0≤x≤1）的最大值為-2+6a．
綜上所述：
函數(shù)f（x）=-2x³+6ax（0≤x≤1）的最大值為：

0，a≤0 4a a ，0＜a≤1 6a-2，a＞1

．

點評：本題考查函數(shù)的最大值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意分類討論思想的合理運用．