Question

定義：在平面直角坐標系中，以原點為圓心，以

a2+b2

為半徑的圓O為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的“準圓”．已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的離心率為

3

3

，直線l：2x-y+5=0與橢圓C的“準圓”相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設點P是橢圓C的“準圓”上的一個動點，過動點P作斜率存在且不為0的兩條不同的直線l₁，l₂，使得l₁，l₂與橢圓都相切，試判斷l(xiāng)₁與l₂是否垂直？并說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由于直線l：2x-y+5=0與橢圓C的“準圓”相切，利用點到直線的距離公式可得

a2+b2

=

5

，化為a²+b²=5，結(jié)合離心率為

3

3

，解得即可；
（2）設經(jīng)過點P（x₀，y₀）與橢圓C相切的直線為y=k（x-x₀）+y₀，與橢圓方程聯(lián)立，可得直線l₁，l₂的斜率k₁，k₂滿足方程(x02-3)k2-2x0y0k-(x02-3)=0，利用k₁•k₂=-1，可得直線l₁與l₂垂直．

解答： 解：（1）∵直線l：2x-y+5=0與橢圓C的“準圓”相切，
∴

a2+b2

=

5

，化為a²+b²=5，
∵e=

c

a

=

3

3

，解得a²=3，b²=2，c=1．
∴橢圓C的方程為

x2

3

+

y2

2

=1；（6分）
（2）由（1）知橢圓C的“準圓”方程為x²+y²=5
設點P（x₀，y₀），則x02+y02=5（7分）
設經(jīng)過點P（x₀，y₀）與橢圓C相切的直線為y=k（x-x₀）+y₀
聯(lián)立

y=k(x-x0)+y0 x2 3 + y2 2 =1

消去y，得(2+3k2)x2-6k(kx0-y0)x+3(kx0-y0)2-6=0
由△=0，化簡得(x02-3)k2-2x0y0k-(x02-3)=0（10分）
設直線l₁，l₂的斜率分別為k₁，k₂．
∵直線l₁，l₂與橢圓C相切，
∴k₁，k₂滿足方程(x02-3)k2-2x0y0k-(x02-3)=0，
∴k₁•k₂=-1，故直線l₁與l₂垂直                                      （13分）

點評：本題綜合考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、直線與圓相切問題、勾股定理、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．