Question

16．已知關(guān)于x的絕對值方程|x²+ax+b|=2，其中a，b∈R．
（1）當(dāng)a，b滿足什么條件時，方程的解集M中恰有3個元素？
（2）在條件（1）下，試求以方程解集M中的元素為邊長的三角形，恰好為直角三角形的充要條件．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)絕對值的性質(zhì)結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．
（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行求解判斷即可．

解答 解�。�1）原方程等價于x²+ax+b=2，①
或x²+ax+b=-2，②
由于△₁=a²-4b+8＞a²-4b-8=△₂，
∴△₂=0時，原方程的解集M中恰有3個元素，即a²-4b=8；
（2）必要性：由（1）知方程②的根x=-$\frac{a}{2}$，方程①的根x₁=-$\frac{a}{2}$-2，x₂=-$\frac{a}{2}$+2，
如果它們恰為直角三角形的三邊，即（-$\frac{a}{2}$）²+（-$\frac{a}{2}$-2）²=（-$\frac{a}{2}$+2）²，
解得a=-16，b=62．
充分性：如果a=-16，b=62，可得解集M為{6，8，10}，以6，8，10為邊長的三角
形恰為直角三角形．
∴a=-16，b=62為所求的充要條件．

點(diǎn)評 本題主要考查一元二次函數(shù)以及充分條件和必要條件的判斷，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．