【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調性；

（2）若有兩個極值點，證明：.

【答案】(1) 當時， 在上單調遞增;

在上單調遞減；時， 在上單調遞增；當時，在上單調遞減; 在上單調遞增.

(2)見解析.

【解析】分析：（1）由，分別討論當時，或討論導函數(shù)的正負從而可得函數(shù)的單調性；

（2）由（1）知，且為方程的兩個根，由根與系數(shù)的關系，其中，可化簡，令，進而求導求最值即可證得.

詳解：（1） .

令，，對稱軸為.

①當時，，所以在上單調遞增.

②當或時， .此時，方程兩根分別為，.

當時，，當時，，當，，所以在上單調遞增， 在上單調遞減.

當時，，當時，，當，， 所以在上單調遞減， 在上單調遞增.

綜上，當時， 在上單調遞增;

在上單調遞減；時， 在上單調遞增；當時，在上單調遞減; 在上單調遞增.

（2）由（1）知，且為方程的兩個根.

由根與系數(shù)的關系，其中.

于是

.

令，

，

所以在在上單調遞減，且.

∴，即，

又，.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) 的部分圖象如圖所示。

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）設，且方程有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍和這兩個根的和

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知，，.

（Ⅰ）若，求的極值；

（Ⅱ）若函數(shù)的兩個零點為，記，證明：．

【答案】（Ⅰ）極大值為，無極小值；（Ⅱ）證明見解析.

【解析】分析：（Ⅰ）先判斷函數(shù)在上的單調性，然后可得當時，有極大值，無極小值．（Ⅱ）不妨設，由題意可得，即，又由條件得，構造，令，則，利用導數(shù)可得，故得，又，所以．

詳解：（Ⅰ），

，

由得，

且當時，，即在上單調遞增，

當時，，即在上單調遞減，

∴當時，有極大值，且，無極小值．

（Ⅱ）函數(shù)的兩個零點為，不妨設，

，．

，

即，

又，，

，

．

令，則

，

在上單調遞減，

故，

，

即，

又，

．

點睛：（1）研究方程根的情況，可以通過導數(shù)研究函數(shù)的單調性、最大（小）值、函數(shù)的變化趨勢等，根據(jù)題目要求，畫出函數(shù)圖象的大體圖象，然后通過數(shù)形結合的思想去分析問題，可以使得問題的求解有一個清晰、直觀的整體展現(xiàn)．

（2）證明不等式時常采取構造函數(shù)的方法，然后通過判斷函數(shù)的單調性，借助函數(shù)的最值進行證明．

【題型】解答題
【結束】
22

【題目】在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）．以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系，已知曲線的極坐標方程為：．

（Ⅰ）求直線的普通方程與曲線的直角坐標方程；

（Ⅱ）設直線與曲線交于不同的兩點，若，求的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， ，（其中， 為自然對數(shù)的底數(shù)， ……）.

（1）令，若對任意的恒成立，求實數(shù)的值；

（2）在（1）的條件下，設為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)， ，求的最小值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】算籌是在珠算發(fā)明以前我國獨創(chuàng)并且有效的計算工具，為我國古代數(shù)學的發(fā)展做出了很大貢獻.在算籌計數(shù)法中，以“縱式”和“橫式”兩種方式來表示數(shù)字，如圖：

表示多位數(shù)時，個位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推，遇零則置空，如圖：

如果把5根算籌以適當?shù)姆绞饺糠湃?下面的表格中，那么可以表示的三位數(shù)的個數(shù)為（ ）

A.

B.

C.

D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中底面，為直角，，，分別為的中點.

（1）試證：平面；

（2）求與平面所成角的大�。�

（3）求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某校在學年期末舉行“我最喜歡的文化課”評選活動，投票規(guī)則是一人一票，高一（1）班44名學生和高一（7）班45名學生的投票結果如下表（無廢票）：

語文

數(shù)學

外語

物理

化學

生物

政治

歷史

地理

高一（1）班

6

9

7

5

4

5

3

3

2

高一（7）班

6

4

5

6

5

2

3

該校把上表的數(shù)據(jù)作為樣本，把兩個班同一學科的得票之和定義為該年級該學科的“好感指數(shù)”.

（Ⅰ）如果數(shù)學學科的“好感指數(shù)”比高一年級其他文化課都高，求的所有取值；

（Ⅱ）從高一（1）班投票給政治、歷史、地理的學生中任意選取位同學，設隨機變量為投票給地理學科的人數(shù)，求的分布列和期望；

（Ⅲ）當為何值時，高一年級的語文、數(shù)學、外語三科的“好感指數(shù)”的方差最小?（結論不要求證明）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】新高考最大的特點就是取消文理分科，除語文、數(shù)學、外語之外，從物理、化學、生物、政治、歷史、地理這科中自由選擇三門科目作為選考科目．某研究機構為了了解學生對全文（選擇政治、歷史、地理）的選擇是否與性別有關，從某學校高一年級的1000名學生中隨機抽取男生，女生各人進行模擬選科．經(jīng)統(tǒng)計，選擇全文的人數(shù)比不選全文的人數(shù)少人．

（1）估計在男生中，選擇全文的概率.

（2）請完成下面的列聯(lián)表；并估計有多大把握認為選擇全文與性別有關，并說明理由；

附：，其中．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，正三棱柱的所有棱長均為2， ， 分別為和的中點．

（1）證明： 平面；

（2）求點到平面的距離.

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