Question

4．已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面為正三角形，E，F(xiàn)分別是A₁C₁，B₁C₁上的點，且滿足A₁E=EC₁，B₁F=3FC₁．
（1）求證：平面AEF⊥平面BB₁C₁C；
（2）設直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱長均相等，求二面角C₁-AE-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取B₁C₁的中點G，連結(jié)A₁G，推導出EF∥A₁G，A₁G⊥B₁C₁，從而EF⊥B₁C₁，由三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直棱柱，得到BB₁⊥EF，從而EF⊥平面BB₁C₁C，由此能證明平面AEF⊥平面BB₁C₁C．
（2）以A為坐標原點，以AA₁，AC分別為y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角C₁-AE-B的余弦值．

解答 證明：（1）取B₁C₁的中點G，連結(jié)A₁G，
∵B₁F=3FC₁，F(xiàn)G=FC₁，∴EF∥A₁G，
在等邊△A₁B₁C₁中，由G是B₁C₁的中點，知A₁G⊥B₁C₁，
∴EF⊥B₁C₁，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直棱柱，∴BB₁⊥平面A₁B₁C₁，
又∵EF?平面A₁B₁C₁，∴BB₁⊥EF，
∵BB₁∩B₁C₁=B₁，∴EF⊥平面BB₁C₁C，
又EF?平面AEF，∴平面AEF⊥平面BB₁C₁C．
解：（2）以A為坐標原點，以AA₁，AC分別為y軸，z軸，建立空間直角坐標系，
設直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱均為2，則A（0，0，0），B（$\sqrt{3}，1，0$），E（0，1，2），
∴$\overrightarrow{AE}$=（0，1，2），$\overrightarrow{AB}$=（$\sqrt{3}，1，0$），
設$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面ABE的一個法向量，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=y+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=\sqrt{3}x+y=0}\end{array}\right.$，取x=-2，得$\overrightarrow{n}$=（-2，2$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$），
平面AEC₁的一個法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
設二面角C₁-AE-B的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{19}}=\frac{2\sqrt{19}}{19}$．
∴二面角C₁-AE-B的余弦值為$\frac{2\sqrt{19}}{19}$．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．