Question

19．若正實數(shù)x，y滿足（2xy-1）²=（5y+2）•（y-2），則$x+\frac{1}{2y}$的最大值為（　　）

• A． $-1+\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$
• B． $-1+\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$
• C． $1+\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$
• D． $-1-\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)（2xy-1）²=（5y+2）•（y-2），兩邊構(gòu)成平方公式，化簡找出x，y的關(guān)系，構(gòu)造基本不等式的性質(zhì)求解．

解答 解：由（2xy-1）²=（5y+2）•（y-2），可得（2xy-1）²=9y²-（2y+2）²，即（2xy-1）²+（2y+2）²=9y²
得：$（2x-\frac{1}{y}）^{2}+（2+\frac{2}{y}）^{2}$=9，
得：$（2x-\frac{1}{y}）^{2}+（2+\frac{2}{y}）^{2}$$≥\frac{（2x-\frac{1}{y}+2+\frac{2}{y}）^{2}}{2}$=$\frac{（2x+\frac{1}{y}+2）^{2}}{2}$
即$（2x+\frac{1}{y}+2）^{2}≤18$
得$2x+\frac{1}{y}≤3\sqrt{2}-2$
那么：$x+\frac{1}{2y}$≤$\frac{3\sqrt{2}-2}{2}$．
∴$x+\frac{1}{2y}$的最大值為$\frac{3}{2}\sqrt{2}-1$．
故選：A．

點評 本題考查了“構(gòu)造思想”，將等式轉(zhuǎn)化為兩邊恒成立的完全平方，構(gòu)造基本不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．