Question

8．如圖，半圓O的直徑為2，A為直徑延長線上的一點(diǎn)，OA=2，B為半圓上任意一點(diǎn)，以AB為一邊作等邊三角形ABC，設(shè)∠AOB=α（0＜α＜π）．
（1）當(dāng)α為何值時，四邊形OACB面積最大，最大值為多少；
（2）當(dāng)α為何值時，OC長最大，最大值為多少．

Answer 1

分析 （1）OA=2，B為半圓上任意一點(diǎn)，那么△OAB是直角三角形，AB²=5-4cosα．三角形S_△AOB=sinα，
三角形${S_{△ABC}}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}A{B^2}=\frac{5}{4}\sqrt{3}-\sqrt{3}cosα$，兩個三角之和，可得四邊形OACB面積，利用三角函數(shù)的有界限，即可求解最大值．
（2）在△OAB中，利用正弦定理，把OC用三角函數(shù)關(guān)系式表示出來，利用三角函數(shù)的有界限，即可求解最大值．

解答 解：（1）由題意，在△OAB中，AB²=5-4cosα，
三角形S_△AOB=sinα，
三角形${S_{△ABC}}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}A{B^2}=\frac{5}{4}\sqrt{3}-\sqrt{3}cosα$
四邊形OABC的面積為$S={S_{△AOB}}+{S_{△ABC}}=2sin（α-\frac{π}{3}）+\frac{5}{4}\sqrt{3}$．
∵0＜α＜π，
∴當(dāng)$α-\frac{π}{3}=\frac{π}{2}$，即$α=\frac{5}{6}π$時，四邊形OABC的面積最大，
故得當(dāng)$α=\frac{5}{6}π$，四邊形OABC的面積最大且最大值為$2+\frac{5}{4}\sqrt{3}$．
（2）△OAB中，$sin∠OAB=\frac{OBsin∠AOB}{AB}=\frac{sinα}{{\sqrt{5-4cosα}}}$
∴$cos∠OAB=\sqrt{1-{{sin}^2}∠OAB}=\frac{2-cosα}{{\sqrt{5-4cosα}}}$
∴$cos∠OAC=cos（∠OAB+{60°}）=\frac{{2-cosα-\sqrt{3}sinα}}{{2\sqrt{5-4cosα}}}$．
△OAC中，OC²=OA²+AC²-2OA•AC•cos∠OAC=$2\sqrt{3}sinα-2cosα+5$
即$OC=\sqrt{4sin（α-\frac{π}{6}）+5}（α∈（0，π））$
∵$α-\frac{π}{6}∈（-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}）$，
∴$α-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即$α=\frac{2}{3}π$時，OC有最大值．
故得當(dāng)$α=\frac{2}{3}π$時，OC有最大值3．

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)的有界性，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．屬于中檔題．